Численные методы решения СЛАУ

Введение…...………………………………………………....……………………...……3
1. Основные понятия и методы линейной алгебры…………………………...…5
2. Метод итераций решения систем линейных уравнений…………..…………8
3. Метод Зейделя……………..……………………………………………………...12
4. Приведение системы линейных уравнений к виду, удобному для применения метода итераций…………………………..………………………...…..14
5. Метод релаксаций СЛУ…………………...………………………………………20
5.1 Метод верхних релаксаций………………………………………..………………20
5.2 Метод блочной релаксации………………………………………..………………21
5.3 Применение метода релаксаций к решению СЛАУ……………………......….21
6. Решение заданий………………………..…………………………………………24
6.1 Методом итерации……………………………………..…………………….……..24
6.2 Методом Зейделя……………………………………………….…………………..27
6.3 Приведение СЛАУ к виду, удобному для итераций……………………………29
6.4 Методом релаксаций……………………………………………..…………...……30
Заключение
Список использованной литературы

3. Метод Зейделя

Другим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод Зейделя. Он представляет собой некоторые видоизменения метода итераций. В нем при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi используются уже вычисленные значения (k+1)-го приближения для неизвестных x1, x2, …, xi-1. Если для приведенной системы

уже найдено k-е приближение x1(k), x2(k), …, xn(k), то ее (k+1)-е приближение определяется формулами [8,c.492]
(1)
k=0,1,2,…
Пример 2:
Методом Зейделя решить систему

Решение. Разрешив первое уравнение относительно x1, второе — относительно x2, третье — относительно x3, придем к системе

удобной для проведения метода Зейделя. За нулевое приближение примем
x1(0)= 1, x2(0)=0,8, x3(0)=0,9
и по формулам (1) получим:
при k=0
x1(1) =1+0,1*0,8-0,1*0,9=0,99,
x2(1) =0,8-0,1*0,99+0,3*0,9=0,971.
x3(1) =0,9-0,1*0,99+0,2*0,971=0,9952;
при k=1
x1(2) =1+0,1*0,971-0,1*0,9952=0,9976,
x2(2) =0,8-0,1*0,9976+0,3*9952=0,9989.
...

5.1 Метод верхних релаксаций.
Среди явных одношаговых итерационных методов наибольшее распространение получил метод верхних релаксаций, который имеет следующий вид:
(1)
где  > 0 - заданный числовой параметр. Этот параметр выбирается таким образом, чтобы на каждом шаге итерационного процесса уменьшалась величина, характеризующая близость полученного решения к искомому решению системы.
Это связано с тем, что метод верхних релаксаций содержит свободный параметр , изменяя который можно получать различную скорость сходимости итерационного процесса.
Наиболее эффективно этот метод применяется при решении множества близких алгебраических систем линейных уравнений. На первом этапе проводится решение одной из систем с различными значениями итерационного параметра  и из анализа скорости сходимости итерационного процесса выбирается оптимальное значение этого параметра.
...

5.3 Применение метода релаксаций к решению СЛАУ.
Метод релаксации (ослабления) к итерационным методам, где на каждом шаге меняется значение только одной из компонент вектора приближения к решению.
Исходную систему уравнений (например, делением на диагональные элементы) преобразуем к виду
(10)
Возьмем начальное приближение X(0). Подставляя его в (10), получаем т.н. ”невязки”
(11)
Выберем максимальную по модулю невязку Rs(0) и положим в очередном приближении xs(1) = xs(0) + Rs (0) . Очевидно, что Rs(1) = 0 , Ri(1) = Ri(0) + cis Rs(0) , i s. Среди найденных невязок вновь отыскиваем наибольшую по модулю Rk(1) и, положив  xk(2) = xk(1) + Rk(1), получаем
Rk(2) = 0 , Ri(2) = Ri(1) +cis Rk(1) , i k (12)
и т.д., до максимальной невязки в пределах заданной точности.
Пример 5:
Решить методом релаксаций данную систему:

Вычисления производить с точностью до трех знаков после запятой.
...

6.1 Методом итерации решить системы линейных уравнений:
1) Решение:
матрица этой системы:
ее норма:
||B||1 = max{0,2+0,3, 0,2+0,3, 0,2+0,3}=0,5<1. => процесс итерации для данной системы будет сходящимся. За нулевое приближение примем x1(0)= 2,3, x2(0)=3,1, x3(0)=3,8.
Подставляя эти значения в правые части уравнений системы, получим:
x1(1)= 0,54, x2(1)=1,5, x3(1)=2,41.

Можно принять x ≈ x12 = (1, 2, 3)T.
Оценим погрешность
||B|| = 0,5, ||c|| = 2,3 + 3,1 + 3,8 = 9,2, ||x – x12||<=(0,5)13 * 4,6/(1-0,5) = 0,00225 = >
в 11 приближении каждая неизвестная имеет не менее, чем по 2 верных знака после запятой.
2) Решение:
матрица этой системы:

ее норма:
||B||1 = max{0,1+0,3, 0,1+0,2, 0,3+0,1}=0,4<1. => процесс итерации для данной системы будет сходящимся. За нулевое приближение примем
x1(0)= 3,5, x2(0)=1,7, x3(0)=2,5.
...