Некоторые вопросы решения матричных уравнений

Оглавление
Введение 2
1. Основные понятие и определения 3
2. Матричные уравнения 7
2.1. Уравнения вида АХ=В 7
2.2. Уравнение вида ХА=В 9
2.3. Уравнения вида АХВ=С 12
2.4. Уравнение вида АХ+ХВ=С 15
2.5. Уравнение вида АХ=ХА 16
Заключение 19
Список литературы 20

2.1. Уравнения вида АХ=В
Рассмотрим уравнение вида AX=B, где A,B - известные матрицы, причём матрица A квадратная и невырожденная, а матрица B имеет тоже количество строк, что и матрица A. [1]
Такое уравнение можно решить двумя способами:
• Вычисляется обратная матрица любым из известных способов. Тогда решение матричного уравнения будет иметь вид:

• При помощи элементарных преобразований строк блочной матрицы к виду , где единичная матрица. Тогда матрица будет решением уравнения. [1]
Пример 1.Найти решение матричного уравнения АХ=В, имеющего вид

Решение. 1 способ. Пусть
Тогда нам дано уравнение вида Найдем
Воспользуемся алгоритмом нахождения обратной матрицы

Вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы.

2 способ. Запишем матрицу (A|B) и выполним элементарные преобразования, чтобы получить слева единичную матрицу:

В обоих случаях получили

Пример 2. Решить матричное уравнение: ,
где
; .
Решение.
1 способ.
...

2.2. Уравнение вида ХА=В
Матричное уравнение также можно решить двумя способами:
• Вычисляется обратная матрица любым из известных способов. Тогда решение матричного уравнения будет иметь вид:
• Транспонированием левой и правой частей уравнения получим

После введения новой неизвестной матрицы получаем уравнение вида

которое можно решить методом элементарных преобразований, составив блочную матрицу . [4]
Пример 3. Найти решение матричного уравнения , имеющего вид

Решение. 1 способ.

Транспонируем обе части уравнения

2 способ. Составим блочную матрицу и при помощи элементарных преобразований получим слева единичную

Значит,

что совпадает с решением, полученным первым способом.
Пример 4. Решить уравнение (с помощью обратной матрицы) где . Сделать проверку.
Решение:
Найдем обратную матрицу.
Находим определитель матрицы

Поскольку то обратная матрица существует

Находим алгебраические дополнения

Отсюда,

Сделаем проверку:

2.3.
...

2.3. Уравнения вида АХВ=С
При решении этого уравнения необходимо обе части уравнения умножить на слева и на справа. Учитывая, что
,
указанное уравнение решается по формуле

Пример 5. Решить уравнение вида АХВ=С, где

Решение. Уравнение принимает вид

Найдем матрицу

Т. о.,

Найдем матрицу по формуле

Далее, применяя формулу получаем:

Итак,

Пример 6. Решить матричное уравнение: ,
где
; ; .
Решение.
Если для матриц и существуют обратные матрицы и соответственно, умножим обе части уравнения слева на , справа на . В результате получим:
. Учитывая, что ,
(- единичная матрица) можно записать: . Так как
- единичная матрица, окончательно имеем уравнение:

где матрица - решение уравнения.
Если же хотя бы одна из матриц или не имеет обратную, уравнение не имеет решения.
Для матрицы найдем или докажем, что она не существует.
а) обратная матрица существует.
б) .
в) Найдем алгебраические дополнения для матрицы и составим из них присоединенную матрицу :
.
...

2.5. Уравнение вида АХ=ХА
Уравнения вида АХ=ХА решаются так же, как и в предыдущем случае, то есть поэлементно. Решение здесь сводится к нахождению перестановочной матрицы.
Пример 8.
Найдите все матрицы, перестановочные с данной матрицей А:

Решение. Наша цель – найти все матрицы В такие, что

Для того, чтобы существовала левая часть этого равенства нужно, чтобы длина строки матрицы В равнялась двум. Для существования правой части равенства надо, чтобы высота столбца матрицы В равнялась двум. Итак, матрица В должна быть квадратной матрицей второго порядка:

Теперь условие задачи запишется в виде равенства:

или

Но равенство матриц означает равенство их элементов, занимающих одинаковые места. Значит

Эти равенства дают нам систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными:

Получили общее решение системы линейных уравнений. Значит, общий вид матрицы будет таков:

где – любые действительные числа.
Ответ., где – любые действительные числа.
...