Элементы качественной теории дифференциальных уравнений и теории колебаний

Задача 1.7.

Задача 2.13.

Задача 3.11. Найти решения уравнения, удовлетворяющие заданным условиям:

Задача 4.12. Исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Четаева.

Задача 5.16. С помощью теоремы об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость все состояния равновесия системы

Задача 6.7. Используя теорему Пуанкаре-Бендиксона, доказать существование цикла у уравнения или системы

Задача 7.30. Методом Пуанкаре найти приближенно периодическое решение данного уравнения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

ПРИЛОЖЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ

В данной курсовой работе рассматриваются основные аспекты качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнение и теории колебаний на примере решения задач, посвященных нахождению особых точек и исследованию их характера для нелинейной автономной системы 2-го порядка; нахождению первого интеграла и построению фазового портрета нелинейного автономного уравнения второго порядка; нахождению решения уравнения с частными производными первого порядка; применению функции Ляпунова и системы первого приближения к определению устойчивости нулевого решения; исследованию диссипативности нелинейной автономной системы второго порядка и существования у неё цикла; приближенному построению с помощью метода малого параметра периодического решения нелинейного неавтономного уравнения второго порядка.
Задания сопровождаются иллюстрациями и вычислениями, выполненными в математическом пакете Maple17.

Добрый день! Уважаемые студенты, Вашему вниманию представляется дипломная работа на тему: «Элементы качественной теории дифференциальных уравнений и теории колебаний»
Оригинальность работы 76%

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ.

Задача 1.7. Найти особые точки следующих систем. Определить их тип. Построить схематически фазовый портрет в окрестности каждой особой точки.
{█(x ̇=y^2-x^2@y ̇=ln⁡〖(1-x+x^2)/3〗 )┤
Задача 2.13. Найдя первый интеграл, изобразить фазовый портрет уравнения на плоскости (x,x ̇).
x ̈-4x=-3-x^2
Задача 3.11. Найти решения уравнения, удовлетворяющие заданным условиям:
∂z/∂x+(2e^x-y) ∂z/∂y=0, z(0,y)=y
Задача 4.12. Исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Четаева.
{█(x ̇=y-x^5 @y ̇=-x-y^5 )┤
Задача 5.16. С помощью теоремы об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость все состояния равновесия системы
{█(x ̇=e^y-e^x @y ̇=√(3x+y^2 )-2)┤
Задача 6.7. Используя теорему Пуанкаре-Бендиксона, доказать существование цикла у уравнения или системы
{█(x ̇=y-x(4-√(x^2+y^2 ))@y ̇=-x-y(4-√(x^2+y^2 )) )┤
Задача 7.30. Методом Пуанкаре найти приближенно периодическое решение данного уравнения.
x ̈+5x+x^3=2μsint