Модель Пуанкаре пространства Лобачевского

Оглавление
Введение 3
1 Модель Пуанкаре пространства Лобачевского 5
2 Аксиомы принадлежности 7
2.1 Аксиома I1 7
2.2 Аксиома I2 8
2.3 Аксиома I3 9
2.4 Аксиомы I4 и I5 9
2.5 Аксиома I6 10
2.6 Аксиома I7 11
2.7 Аксиома I8 11
3 Аксиомы порядка 12
3.1 Аксиомы II1-II3 12
3.2 Аксиома Паша 13
4 Аксиомы конгруэнтности 15
4.1 Аксиома III1 16
4.2 Аксиомы III2,III3, III4,III5 16
5 Аксиомы непрерывности 18
6 Аксиома Лобачевского 19
Заключение 20
Список использованной литературы 22

Введение
Геометрия Лобачевского строится на тех же аксиомах, что геометрия Евклида, с единственной заменой аксиомы параллельных на противоположную:
Аксиома Лобачевского. На плоскости для каждой прямой а через каждую не лежащую на а точку проходит по крайней мере две прямых, не пересекающих данную прямую а.
Строго говоря, в изложенном виде аксиома Лобачевского не является логическим отрицанием аксиомы о параллельных прямых. Такое отрицание может быть сформулировано следующим образом:
Через некоторую точку проходят две прямые, не пересекающие некоторой третьей прямой.
С учетом остальных аксиом обе формулировки оказываются равносильными.
В геометрии Лобачевского выполняются все теоремы евклидовой геометрии — планиметрии и стереометрии, — основанные на аксиомах за вычетом аксиомы параллельных. Но теоремы, связанные с этой аксиомой, заменяются существенно другими, которые, на первый взгляд, могут казаться странными.
И так, геометрия Лобачевского отличается от геометрии Евклида, причем данное отличие обусловлено лишь заменой аксиомы о параллельности Евклида на аксиому параллельности Лобачевского. Отсюда можно сделать логичный вывод, что геометрия Лобачевского является неевклидовой геометрией. Несмотря на то, что геометрия Лобачевского отличается от привычной евклидовой геометрии, она все же находит применения в различных областях науки. Поэтому ее изучение представляет особой интерес.
Существуют различные модели пространства Лобачевского. В этой работе рассматривается Модель Пуанкаре в полупространстве, в которой в качестве неевклидовых точек берутся точки открытого евклидова полупространства, расположенного по одну сторону от граничной плоскости. В качестве неевклидовых прямых берутся евклидовы открытые полуокружности, перпендикулярные данной плоскости с центрами на ней или лучи, перпендикулярные граничной плоскости с началами в точках этой плоскости. Аналогично, в качестве неевклидовых плоскостей берутся полусферы или плоскости, перпендикулярные граничной плоскости.
Цель данной работы – проверка аксиом абсолютной геометрии и аксиомы Лобачевского о параллельных для модели Пуанкаре пространства Лобачевского.
Задачи работы – проверка аксиом принадлежности, порядка, конгруэнтности, непрерывности, а также аксиомы Лобачевского.

Заключение
Геометрия Лобачевского отличается от евклидовой геометрии. В геометрии Лобачевского не выполняется аксиома Евклида о параллельных прямых, которая формулируется следующим образом:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её. На ее замену приходит следующая аксиома о параллельных:
На плоскости для каждой прямой а через каждую не лежащую на а точку проходит по крайней мере две прямых, не пересекающих данную прямую а.
Ясно, что теоремы, связанные с этой теоремой могут касаться странными и непривычными. Последнее связано, в первую очередь, с тем, что окружающее нас видимое пространство является евклидовым. Тем не менее, изучение неевклидовых геометрий представляет особый интерес как для самой математики, так и для других наук.
Существуют различные представления (модели) плоскости и пространства Лобачевского. Одной из таких моделей является рассмотренная в этой работе модель Пуанкаре.
Важным является вопрос о выполнении аксиом абсолютной геометрии и аксиомы о параллельных Лобачевского. В данной работе рассмотрены все аксиомы абсолютной геометрии, доказана их выполнимость для модели Пуанкаре пространства Лобачевского. Также показано, что в данной модели выполнена аксиома о параллельных Лобачевского, являющаяся отрицанием соответствующей аксиомы Евклида.
Можно сделать вывод, что аксиома Евклида не зависит от аксиом абсолютной геометрии. Последнее дает возможность рассматривать различные неевклидовы геометрии, в которых данная аксиома заменяется другой аксиомой. Таким образом, существует множество различных геометрий, отличающихся друг от друга. Одной из таких неевклидовых геометрий как раз является геометрия Лобачевского.