Применение производной при решении задач в школьном курсе математики. Решение неравенств

Содержание
Введение 3
1 Производная и ее свойства 4
1.1 Основные определения производной 4
1.1.1 Понятие производной 4
1.1.2 Механическое значение производной. 4
1.1.3 Геометрическое значение производной. 5
1.2 Вычисление производной 6
1.2.1 Вычисление производной из определения 6
1.2.2 Основные правила дифференцирования 8
1.2.3 Производная сложной функции 9
2 Применение производной 10
2.1 Применение производной в механике. Дифференцирование функции, заданной параметрически 10
2.2 Применение производной при вычислении пределов. Правило Лопиталя 12
2.3 Применение производной в исследовании функции 13
2.3.1 Определение интервалов возрастания и убывания графиков функций 13
2.3.2 Применение производной в целях определения максимального или минимального значения функции 15
3 Применение производной при решении неравенств 18
3.1 Использование производной для решения неравенств 18
3.2 Использование основных теорем дифференциального исчисления при доказательстве неравенств 22
Список литературы 25

Наименьшим значением функции на этом промежутке является f(/4)=0.Следовательно,f(a)0 при 0<a</4.Для указанного промежутканеравенство доказано. Если /4<a</2, то 0</2–a</4. Однако неравенство не меняется при заменен a на /2–a. Задача 2 решена.Задача 1.3. Что больше e или e ?Решение.Для решения задачи исследуем вопрос о существовании решений уравнения с двумя неизвестными: ab=ba, a>0, b>0. Исключим тривиальный случай a=b и для определенности будем предполагать, что a<b. Ввиду симметричности вхождения a и b в уравнение, последнее замечание не ограничивает общности рассуждений. Ясно, что уравнение ab=ba равносильно уравнениюb*(lna)=a*(lnb), или(ln a)/a = (ln b)/b.Пусть f(x)=(ln x)/x (1). Существование решений уравнения (1) эквивален-тно наличию значений x1 и x2 (x1<x2) таких, что f(x1)=f(x2). В этом случае пара (x1,x2) является решением уравнения (1). Иными словами, требуется выяснить, найдется ли прямая y=c, пересекающая график функции f по крайней мере в двух различных точках.Для этого исследуем функцию f. Ее производная f/(x)=(1–lnx)/x2 в области определенияfимеет единственную критическую точкуx=e.При 0<x<ef/(x)>0 функция f возрастает, а при x>ef/(x)<0 функция f убывает. Поэтому в точке x=ef принимает свое наибольшее значение (1/e). Так как функция (lnx)/x непрерывна и возрастает на промежутке (0,e], то она на этом промежутке принимает все значения от – до 1/е.Аналогично, на промежутке [e,) функция f принимает все значения из (0,1/e]. Из результатов исследования функции f вытекают следующие утверждения:1. Если 0<a<b и a1, то (lna)/a<(lnb)/b. Поэтому ab<ba . Следовательно, уравнение (1) и равносильное ему уравнение ab=ba не имеют решений.2. Если 1<a<be, то ab<ba и уравнение ab=ba также не имеют решений.3. Если b>a>e, то ab>ba.Таким образом, если (a,b) является решением уравнения ab=ba , то 1<a<e, b>e. Более того, при каждом фиксированном значении 1<a<e найдется единственное значение b>e такое, что ab=baДля ответа на вопрос задачи 3 достаточно положить a=e, b= и воспользоваться утверждением (1). Итак, e > e . Задача 3 решена.Задача 1.4. Два туриста отправились по одному маршруту. В первый день они прошли одно и то же расстояние. В каждый из следующих дней первый турист увеличивал пройденный путь, по сравнению предыдущим, на одно и то же расстояние, а второй – в одно и то же число раз. Выяснилось, что в n-тый день (n>2) путешествия туристы снова прошли одно и то же расстояние. Доказать, что за n дней первый турист прошел путь больший, чем второй.Решение.Расстояние, пройденное первым туристом за n дней, представляет собой сумму n первых членов арифметической прогрессии, а вторым – сумму n первых членов геометрической прогрессии. Обозначим эти расстояния соответственно Sn и Sn’. Если a – первый член прогрессии, d – разность арифметической прогрессии, q – знаменатель геометрической прогрессии, то Приравнивая n-е члены прогрессий, находимТогда , где q>1 (по условию задачи). Задача 4 будет решена, если мы покажем, что , где n>2, q>1 (2)При n=3 имеем , что равносильно очевидному неравенству . Предполагая, что неравенство (2) справедливо при n=k, докажем его для n=k+1. ИмеемДля завершения доказательства достаточно убедиться, то выражение при k>2. Здесь целесообразно обратиться к производной.Пусть Производная положительная при x>1. Поэтому f при x>1 возрастает. Так как f(1)=0 и функция f непрерывна в точке x=1, то f(x)>0 при x>1, т.е. f(q)>0. Итак, Sn>Sn/. Задача 4 решена.3.2 Использование основных теорем дифференциального исчисления при доказательстве неравенствТЕОРЕМА 1 (Ролля).Пусть функция f:[a,b]R удовлетворяет условиям:1) fC[a,b]; 2) x(a,b) существует f/(x); 3) f(a)=f(b). ТогдаC(a,b): f/(C)=0. Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий 1)-3) теоремы на интервале (a,b) существует точка С, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс. На практике чаще используется следующее утверждение теоремы Ролля: между любыми двумя нулями дифференцируемой функции существует хотя бы один нуль у производной. ТЕОРЕМА 2 (Лагранжа про среднее значение, или про конечное приращение). Допустим что функция f:[a,b]R удовлетворяет условиям:1) fC[a,b]; 2) x(a,b) существует f/(x). ТогдаC(a,b): f(b)-f(a)=f/(C)(b-a). Отношение (f(b)-f(a))/(b-a) есть тангенс угла наклона к оси абсцисс секущей, которая проходит через точки (a, f(a)), (b, f(b)). Геометрический смысл теоремы Лагранжа: при выполнении условий 1)-2) теоремы на интервале (a,b) существует точка С, в которой касательная к графику функции в точке (C, f(C)) параллельна секущей.Следствие 1. Пусть функція f:[a,b]R имеет производную f/ на (a,b) іx(a,b) f/(x)=0. Тогда для некоторого L R x(a,b) f(x)=L. Следствие 2. Функции f:[a,b]R, g:[a,b]R имеют произодныеіf/ и g/ на (a,b) и x(a,b) f/(x)=g/(x). Тогда для некоторого числа L R x(a,b): f(x)=g(x)+L. Следствие 3. Пусть функция f:[a,b]R имеем производную f/ на (a,b) и для некоторого L R x(a,b) f/(x)=L. Тогда для некоторого M R x(a,b): f(x)=Lx+M. ТЕОРЕМА 3 (Коши). Пусть функции f:[a,b]R, g:[a,b]R удовлетворяют условиям: 1) f, gC[a,b]; 2) x(a,b) существуют производныеіf/ и g/ ; 3) x(a,b) g/(x)0. ТогдаіC(a,b): (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f/(C)/g/(C). Теорема Лагранжа – это частный случай теоремы Коши при g(x)=x, x[a,b].Задача 1.5. Доказать, что для любых x, y R: sinx – sinyx–y; x, y R: cosx – cosyx–y; x, y R: arctgx – arctgyx–y;x, y [1; +): x – y 0.5x–y.Доказательство этих неравенств аналогичное. Поэтому рассмотрим доказательство первого неравенства. Пусть, например x<y. К фунцииsin применим на отрезке [x,y] теорему Лагранжа: C(x,y): sin x – sin y=cos C(x–y). Учитывая неравенство cosu1, uR, получим требуемое неравенство. Задача 1.6. Доказать, что для любого x R: ex 1+x, причем равенство может быть тогда и только тогда, когда x=0.Пусть сначала x>0. По теореме Лагранжа для функции f(u)=eu, u[0,x],C(0,x): ex – e0 = eC(x-0)>x, так как eC>1 для C>0. Если x<0, то теорему Лагранжа используем для функции f(u)=eu, u[x,0]. Имеем C(x,0): e0 – ex = eC(0-x)<–x, так как –x>0, а eC<1 для C<0. Таким образом, при x0 имеем ex > 1+x.Задача 1.7. Доказать, что для любого x >0: ex>1+x+(x2/2).Для доказательства неравенства применим теорему Коши к функциямf(u)=eu, g(u)=1+u+(u2/2), u[0,x]. Получим C(0,x): (ex – e0)/(1+x+(x2/2)–1) = eC/(1+c). Учитывая доказанное неравенство, найдем (ex-1)/(x+(x2/2))>1, откуда ex>1+x+(x2/2).Задача 1.8. Доказать, что для 0<x</2 выполняется sinx > (2/)x.Пусть f(x)=(sinx)/x (0<x/2). Производная f/(x)=cosx (x–tgx)/x2 (0<x</2) будет отрицательной, так как x<tgx. Таким образом, функция f(x) убывает и f(x)>f(/2)=2/, если 0<x</2.Задача 1.9. Доказать, что при x>0 выполняется cosx >1–(1/2)x2. Функция f(x)=cosx –1+(1/2)x2 равна 0 при x=0. Ее производная, при x>0, f/(x) = –sinx+x>0 (или sinx< x). Т.е., функция f(x) для x0 возрастающая, а при x<0 будет f(x)>f(0)=0, т.е. cosx>1–(1/2)x2.Отсюда, аналогично при x>0 получим sinx>x–(1/6)x3. Задача 1.10. Доказать, что при 0<x</2 выполняется tgx > x+(1/3)x3. Для этого достаточно установить, что для указанныхx производная функции tgx–x–(1/3)x3, равна sec2x–1–x2, положительна, т.е. что tg2x – x2>0, а это приводит к известному неравенству tgx>x.Задача 1.11. Доказать, что при x>0 выполняется lnx x-1.Так как функция f(x)=lnx–x (x>0) имеет производную f/(x)=(1/x)–1 > 0 (при 0<x<1) и f/(x)=(1/x)–1 < 0 (при x>1), то функция возрастает пока x изменяется на промежутке (0,1], и убывает на промежутке [1;+). Отсюда получаем, что f(1)=–1 будет наибольшим значением функции, так что для x>0 выполняется lnx x-1.Список литературыБугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика (в 3-х томах).Том 2; М.: Дрофа, 2007 г. – 510 с.Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике; Харьков: изд-во при Харьковском гос. университете, 1967 г. – 947 с.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление (в 2-х томах). Том 1; M.: Интеграл-пресс, 2005. – 416 c.Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в 3-х томах). Том 2; М.: Физматлит, 2001 – 810 с.Шипачев В.С. Высшая математика; М.: Высшая школа, 2010. - 480c.