ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ РЕЗЕРВИРОВАНИЯ СИСТЕМ

Оглавление
ЗАДАНИЕ 2
1. НЕВОССТАНАВЛИВАЕМАЯ РЕЗЕРВИРОВАННАЯ СИСТЕМА С ЦЕЛОЙ КРАТНОСТЬЮ 3
1.1 СИСТЕМА С НАГРУЖЕННЫМ РЕЗЕРВОМ 3
1.1.1. Расчетно-логическая схема системы 3
1.1.2. Граф состояний системы 3
1.1.3. Расчет основных характеристик системы 3
1.1.4. Выводы 7
1.2 СИСТЕМА С ЧАСТИЧНО НАГРУЖЕННЫМ РЕЗЕРВОМ 8
1.2.1. Расчетно-логическая схема системы 8
1.2.2. Граф состояний системы 8
1.2.3. Расчет основных характеристик системы 8
1.2.4. Выводы 12
1.3 СИСТЕМА С НЕНАГРУЖЕННЫМ РЕЗЕРВОМ 13
1.2.1. Расчетно-логическая схема системы 13
1.2.2. Граф состояний системы 13
1.2.3. Расчет основных характеристик системы 13
1.3.4. Выводы 16
1.4. СРАВНЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ СИСТЕМ С ЦЕЛОЙ КРАТНОСТЬЮ 17
2 ВОССТАНАВЛИВАЕМАЯ РЕЗЕРВИРУЕМАЯ СИСТЕМА С ЦЕЛОЙ КРАТНОСТЬЮ ПРИ ОГРАНИЧЕННОМ РЕМОНТЕ 19
2.1 СИСТЕМА С НАГРУЖЕННЫМ РЕЗЕРВОМ 19
2.1.1. Расчетно-логическая схема 19
2.1.2. Граф состояний системы 19
2.1.3. Расчет основных характеристик системы 19
2.1.4. Выводы 34
2.2 СИСТЕМА С ЧАСТИЧНО НАГРУЖЕННЫМ РЕЗЕРВОМ 36
2.2.1. Расчетно-логическая схема 36
2.2.2. Граф состояний системы 36
2.2.3. Расчет основных характеристик системы 36
2.2.4. Выводы 53
2.3. СИСТЕМА С НЕНАГРУЖЕННЫМ РЕЗЕРВОМ 55
2.3.1. Расчетно-логическая схема 55
2.3.2. Граф состояний системы 55
2.3.3. Расчет основных характеристик системы 55
2.3.4. Выводы 71
2.4. СРАВНЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ СИСТЕМ С ДРОБНОЙ КРАТНОСТЬЮ ПРИ ОГРАНИЧЕННОМ РЕМОНТЕ 72

Вероятность безотказной работы системы Pсист увеличиваетсяс уменьшением интенсивности отказов основных и резервныхэлементов , 0и увеличением интенсивности восстановленияэлементов .Для заданных значений = 0.0005 1/ч, 0 = 0.0001 1/ч, μ = 5 1/ч и t = 120 ч вероятность безотказной работы системы Pсист= 0.99999999999979562286.Среднее время безотказной работы системыmt увеличиваетсяс уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов , 0и увеличением интенсивности восстановленияэлементов .Для заданных значений = 0.0005 1/ч, 0 = 0.0001 1/ч, μ = 5 1/ч и t = 120 ч среднее время безотказной работы mt составляет ч, что намного больше заданного t = 120 ч. Т.о. с вероятностью 0.99999999999979562286к заданному времени система будет находится в работоспособном состоянии.Коэффициент готовности системы Кг увеличиваетсяс уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов , 0и увеличением интенсивности восстановленияэлементов .Для заданных значений = 0.0005 1/ч, 0 = 0.0001 1/ч, μ = 5 1/ч и t = 120 ч коэффициент готовности системы Кг = 0,999999999999832.Средняя наработка системы на отказ увеличиваетсяс уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов , 0и увеличением интенсивности восстановленияэлементов .Для заданных значений = 5 1/ч и Кг = 0,999999999999832среднее время наработки на отказ .Среднее время восстановления системы уменьшаетсяс уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов , 0и увеличением интенсивности восстановленияэлементов .Для заданного значения интенсивности восстановления = 5 среднее время восстановления системы .Вероятность успешного использования системы R(t)увеличиваетсяс уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов , 0и увеличением интенсивности восстановленияэлементов .Для заданных значений Кг = 0,999999999999832и Рсист= 0.99999999999979562286вероятность успешного использования системы R(t) = 0,999999999999785.2.3. Система сненагруженным резервом2.3.1. Расчетно-логическая схема2.3.2. Граф состояний системыВ качестве состояния системы выберем количество неисправных элементов. Будем считать, что в системе имеется только одно восстанавливающее устройство. Тогда граф состояний системы примет вид:Рабочими для системы являются состояния с 0 по 2, состоянием отказа системы является состояние 3.2.3.3. Расчет основных характеристик системыДля определения вероятности безотказной работы системы составим систему дифференциальных уравнений, соответствующую графу состояний, запретив переход из отказового состояния 4 предотказовое состояние 3.Нормировочное условие: Начальные условия для системы дифференциальных уравнений:P0(0)=1P1(0)=0P2(0)=0P3(0)=0При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:Система дифференциальных уравнений в матричном виде будет иметь вид:Отсюда имеем:Таким образом:Вероятность безотказной работы системыДля определения вероятности безотказной работы необходимо применить к системе обратное преобразование Лапласа и подставить заданные значения для интенсивности отказов нагруженных элементов λ, интенсивности восстановления μ и времени работы t.После обратного преобразования Лапласа система примет вид:Функцию вероятности нахождения системы в рабочем состоянии, в силу наличия одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом:Pсист= P0(t)+P1(t)+P2(t)+P3(t)= 1-P4(t) Для заданных значений t = 120 ч, = 0.0005 1/ч и μ = 5 1/ч Pсист= 0.99999999999996252245.Зависимость вероятности безотказной работыP(t) от времени работы системы представлена на графике:Из полученного графика видно, что с увеличением времени работы системы вероятность нахождения системы в рабочем состоянии падает.Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы системы t для различных значений интенсивности отказа нагруженных элементов λ представлена на графиках:λ = 0.0003λ = 0.0005λ = 0.0007Как видно из графиков, увеличение интенсивности отказов влечет за собой уменьшение вероятности безотказной работы системы.Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы системы t для различных значений интенсивности восстановления элементов μ представлена на графиках:μ = 0.5μ = 5μ = 50Как видно из графиков, увеличение интенсивности восстановления влечет за собой увеличение вероятности безотказной работы системы.Среднее время безотказной работыСреднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:Для заданных значений t = 120 ч, = 0.0005 1/ч и μ = 5 1/ч среднее время безотказной работы mt= 3.2*1012ч.Зависимость среднего времени безотказной работы mt от интенсивности отказов элементов λ для μ = 5 приведена в таблице:λmt0.00037.4*1090.00051.6*1090.00075.8*108Зависимость среднего времени безотказной работы mt от интенсивности восстановления элементов μ для λ = 0.0005приведена в таблице:μmt0.51.6*10651.6*109501.6*1011Коэффициент готовности Нахождение коэффициента готовности Кгсистемы можно осуществить двумя способами - путем составления дифференциальных уравнений на основании графа состояния системы и методом Половко.Нахождение Кг методом дифференциальных уравненийДля графа состояний рассматриваемой системы система дифференциальных уравнений имеет вид:Нормировочное условие: Начальные условия для системы дифференциальных уравнений:P0(0)=1P1(0)=0P2(0)=0P3(0)=0Если предположить, что потоки стационарны, то есть и , = const, то можно получить следующую систему:Тогда, исключая, например, третью строку как линейно зависимую от двух первых и четвертой, можно получить следующую систему уравнений:Система дифференциальных уравнений в матричном виде будет иметь вид:Отсюда имеем:Решением системы будет:Для заданных значений = 0.0005 1/ч и = 5 1/ч коэффициент готовности Кг принимает следующее значение:Кг= P0 + P1 + P2 = 1 – Р3 = 0,999999999875062Нахождение Кг методом ПоловкоКг= P0 + P1 + P2 = 1 – Р3 = 0,999999999875062Значения Кг, полученный методом Половко, совпадает с предыдущим расчетным, что подтверждает правильность его нахождения.Зависимость коэффициента готовности системы Кг от интенсивности отказов основных элементов приведена на графике:Зависимость коэффициента готовности системы Кг от интенсивности восстановления приведена на графике:Средняя наработка на отказДля заданных значений = 5 1/ч и Кг = 0,999999999875062среднее время наработки на отказ принимает следующее значение:Зависимость среднего времени наработки на отказ от интенсивности отказов представлена на графике:Зависимость времени наработки на отказ от интенсивности восстановления представлена на графике:Среднее время восстановления системыДля заданного значения интенсивности восстановления = 5 Зависимость среднего времени восстановления системы от интенсивности восстановления приведена на графике:Вероятность успешного использования системыR(t)=Кг*PсистДля заданных значений Кг = 0,999999999875062и Рсист= 0.99999999999996252245R(t) = 0.99999992519973399194.Зависимость вероятности успешного использования системы от времени представлена на графике:Зависимость вероятности успешного использования системы от интенсивности отказов λ при = 0.05 приведена на графиках: = 0.0003 = 0.0005 = 0.0007Зависимость вероятности успешного использования системы от интенсивности восстановления при = 0.0005 приведена на графиках: = 0.5 = 5 = 502.3.4. ВыводыВероятность безотказной работы системы изменяется по экспоненциальному закону с течением времени.При увеличении времени работы системы вероятность ее безотказной работы уменьшается.Вероятность безотказной работы системы Pсист увеличиваетсяс уменьшением интенсивности отказов и увеличением интенсивности восстановленияэлементов .Для заданных значений = 0.0005 1/ч, μ = 5 1/ч и t = 120 ч вероятность безотказной работы системы Pсист= 0.99999999999996252245.Среднее время безотказной работы системыmt увеличиваетсяс уменьшением интенсивности отказов и увеличением интенсивности восстановленияэлементов .Для заданных значений = 0.0005 1/ч, μ = 5 1/ч и t = 120 ч среднее время безотказной работы mt составляет 3.2*1012ч, что намного больше заданного t = 120 ч. Т.о. с вероятностью 0.99999999999996252245к заданному времени система будет находится в работоспособном состоянии.Коэффициент готовности системы Кг увеличиваетсяс уменьшением интенсивности отказов и увеличением интенсивности восстановленияэлементов .Для заданных значений = 0.0005 1/ч, μ = 5 1/ч и t = 120 ч коэффициент готовности системы Кг = 0,999999999875062.Средняя наработка системы на отказ увеличиваетсяс уменьшением интенсивности отказов и увеличением интенсивности восстановленияэлементов .Для заданных значений = 5 1/ч и Кг = 0,999999999875062среднее время наработки на отказ .Среднее время восстановления системы уменьшаетсяс уменьшением интенсивности отказов и увеличением интенсивности восстановленияэлементов .Для заданного значения интенсивности восстановления = 5 среднее время восстановления системы .Вероятность успешного использования системы R(t)увеличиваетсяс уменьшением интенсивности отказов и увеличением интенсивности восстановленияэлементов .Для заданных значений Кг = 0,999999999875062и Рсист= 0.99999999999996252245 вероятность успешного использования системы R(t) = 0.99999992519973399194.2.4. Сравнение характеристик восстанавливаемых резервированных систем с дробной кратностью при ограниченном ремонтеСопоставление систем удобно провести с помощью сравнительнойтаблицы. Точные характеристики надежности систем для заданных значений t = 120 ч, λ = 0.0005 1/ч, λ0 = 0.0001 1/чприведены в таблице:Восстанавливаемая резервированная система с дробной кратностью при ограниченном ремонтес нагруженным резервомс частично нагруженным резервомс ненагруженным резервом.Вероятность безотказной работы системыP(t)0,9999997993530.999999999999795622860.99999999999996252245Среднее время безотказной работы системы mt, ч99995805999980363.2*1012Коэффициент готовности системы Кг0,9999999998520,9999999999998320,999999999875062Средняя наработка на отказ ,чСреднее время восстановления системы mtB, ч0.050.050.05Вероятность успешного использования системы R(t)0,99999979920,9999999999997850.99999992519973399194ВыводыЛучшими показателями надежности из рассмотренных систем с целой кратностью обладает система с ненагруженным резервом. Для заданных условий система с частично нагруженным резервом по показателям надежности превосходит систему с нагруженным резервом. Однако для системы, все резервные элементы которой нагружены, меньшее время занимает переключение с отказавшего элемента на резервный, что при данных расчетах не учитывалось.