Решение уравнения теплопроводности в частных производных. Краевая задача.

-

Полученное выражение совпадает с (6.2.18)
(К.24)
Проделаем те же самые вычисления в программе Wolfram Mathematica 8.0:
Решение несвязанных дифференциальных уравнений
DSolve[u''[x]0,u[x],x]
отклик системы
{{u[x]C[1]+x C[2]}}
Получили решения общего вида. Но здесь мы не можем сразу в оператор DSolve включить граничные условия. Поэтому приходится переходить к системе линейных уравнений, задающих граничные условия и её решению вручную. В качестве системы уравнений возьмём результат (К.19)
Clear[u1,u2,u3,1,2,3,1,2,3,tin,tex,s1,s2,s3,k1,k2]
tin=300.
tex=240.
s1=0.005
s2=0.025
s3=0.03
k1=1.
k2=0.026
Solve[{1tin,
1*s1+tin==2*s1+2,
1*s2+3==2*s2+2,
1*s3+3tex,
k1*1==k2*2,
3==1},
{1,2,3,1,2,3}]
отклик системы
{{1-76.999,2-2961.5,3-76.999,1300.,2314.423,3242.31}}
Далее определяем искомые функции и строим график
Clear[x,z,u1,u2,u3,fin,fex]
u1[x_]=(-76.999*x+300.)*HeavisideTheta[x]*HeavisideTheta[s1-x]
u2[x_]=(-2961.5*x+314.4225)*HeavisideTheta[x-s1]*HeavisideTheta[s2-x]
u3[x_]=(-76.999*x+242.30997)*HeavisideTheta[x-s2]*HeavisideTheta[s3-x]
отклик системы
300._-76.999 x) HeavisideTheta[0.005_-x] HeavisideTheta[x]
(314.423_-2961.5 x) HeavisideTheta[0.025_-x] HeavisideTheta[-0.005+x]
(242.31_-76.999 x) HeavisideTheta[0.03_-x] HeavisideTheta[-0.025+x]
Эти функции - просто константы (определяют температуры в доме и на улице, соответственно)
fin[x_]:=HeavisideTheta[-x]*tin
fex[x_]:=HeavisideTheta[x-s3]*tex
Plot[{fin[z],u1[z],u2[z],u3[z],fex[z]},{z,-0.01,0.035},PlotRange{{-.012,.042},{220,320}}]
отклик системы - появляется график решения задачи (К.14)-(К.15), распространённый на область . Все функции аккуратно состыковались друг с другом.
Напомним, что левее области находится воздух комнаты, область - это первое стекло, далее идёт область - воздушная прослойка, затем область - это второе стекло, правее области - воздух улицы.
8