Для двух независимых дискретных случайных величин X и Y с заданными законами распределения

Так как pi=1, то 1-13+12=16
X 0 1 2
pi=P(X=xi)
1/3 1/6 1/2

Так как pi=1, то 1-14+38+14=18
Y 1 2 3 4
pi=P(Y=yi)
1/4 3/8 1/8 1/4

Разность случайных величин X и Y – это новая случайная величина X - Y, которая принимает все значения xi-yj с вероятностями pij=pi*pj.
Найдем все возможные значения случайных величин 2X-2Y и вероятности, с которыми они принимают их. Для этого составим вспомогательную таблицу.
X Y 2X 2Y 2X-2Y P
0 1 0 2 -2 1/3*1/4=1/12
0 2 0 4 -4 1/3*3/8=1/8
0 3 0 6 -6 1/3*1/8=1/24
0 4 0 8 -8 1/3*1/4=1/12
1 1 2 2 0 1/6*1/4=1/24
1 2 2 4 -2 1/6*3/8=1/16
1 3 2 6 -4 1/6*1/8=1/48
1 4 2 8 -6 1/6*1/4=1/24
2 1 4 2 2 1/2*1/4=1/8
2 2 4 4 0 1/2*3/8=3/16
2 3 4 6 -2 1/2*1/8=1/16
2 4 4 8 -4 1/2*1/4=1/8

Случайная величина 2X-2Y принимает 6 различных значений -8; -6; -4; -2; 0; 2. Значение -2 она принимает 3 раза (строка 1, строка 6 и строка 11). Тогда, 1/12+1/16+1/16=5/24. Значение -4 – три раза (строки 2, 7 и 12). Тогда, 1/8+1/48+1/8=13/48. Так же подсчитываем вероятности для других повторяющихся значений 2X-2Y.
В итоге получим закон распределения Z=2X-2Y:
Z
-8 -6 -4 -2 0 2
pi
1/12 1/12 13/48 5/24 11/48 1/8
Контроль: 1/12+1/12+13/48+5/24+11/48+1/8=1
Найдем функцию распределения.
Если x≤-8, то F(z)=0.

№ 9 (83)
Для двух независимых дискретных случайных величин X и Y с заданными законами распределения, выполнить следующее:
заполнить пустые места в таблице;
построить закон распределения случайной величины Z (z=2x-2y), являющейся линейной комбинацией случайных величин X и Y;
построить график функции распределения F(z);
найти M(Z) и D(Z);
найти вероятность того, что случайная величина Z попадет в интервал -5;1.

X 0 1 2
pi=P(X=xi)
1/3
1/2

Y 1 2 3 4
pi=P(Y=yi)
1/4 3/8
1/4