Определить параметры модели и ее адекватность по приведенным экспериментальным данным

При планировании эксперимента исследователь должен:
– обеспечить высокую надежность и четкость интерпретации результатов экспериментальных исследований;
– составить последовательную логическую схему построения всего процесса исследования;
– максимально формализовать процесс разработки модели и сопоставления экспериментальных данных различных опытов одного и того же объекта исследований с целью широкого применения электронно-вычислительных средств.
Всем требованиям отвечают статистические методы планирования эксперимента. Статистические методы планирования активного эксперимента являются одним из эмпирических способов получения математического описания статики сложных объектов исследования, то есть уравнения связи отклика объекта и независимых управляемых входных переменных (факторов). При этом математическое описание представляется в виде полинома
, (2.1)
где Y – функция отклика;
X1, X2, …, Xk – факторы исследуемого процесса.
Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней n независимых управляемых факторов, каждый их которых варьируют на двух уровнях. В этом случае учитывается влияние на функцию отклика исследуемого процесса не только каждого рассматриваемого в эксперименте фактора в отдельности, но и их взаимодействий.
Первоначально рассмотрим случай воздействия на функцию отклика Y двух факторов X1 и X2. В соответствии с принципом «от простого к более сложному» предположим, что модель исследуемого процесса является линейной и имеет вид:
Y = b0 + b1X1+ b2X2 + b12X1X2, (2.2)
где b0 – значение функции отклика Y в центре плана;
b1, b2 – характеризуют степень влияния факторов X1, X2 на функцию отклика Y (чем коэффициент больше по сравнению с другими, тем более весомый вклад в изменение функции отклика вносит данный фактор);
b12 – характеризует весомость влияния взаимодействия 1-го и 2-го факторов на функцию отклика исследуемого процесса.
Все возможные комбинации для двух факторов (k = 2), варьируемых на двух уровнях, будут исчерпаны, если мы поставим четыре опыта.
Первый столбец матрицы представляет собой нумерацию опытов. Нумерация факторов осуществляется произвольно и в каждом конкретном случае определяется самим исследователем.
Во втором столбце приводятся значения фиктивной переменной x0 = +1, соответствующей коэффициенту b0.
В последующих столбцах приводятся безразмерные символы, соответствующие верхнему и нижнему уровням варьирования факторов и их взаимодействий.
Обработка и анализ результатов эксперимента
Обработка и анализ результатов ПФЭ предусматривают следующий порядок их проведения:
1. Оцениваются дисперсии среднего арифметического в каждой строке матрицы по формуле
. (2.3)
2. Проверяются однородности дисперсий. Так как даже одна грубая ошибка может исказить результаты исследования, проведенного при небольшом числе экспериментов, то необходим контроль воспроизводимости результатов исследования, который осуществляется с помощью критерия Кохрена. Подсчитывают параметр:
, (2.4)
то есть вычисляют отношение максимального значения изменчивости (максимального значения дисперсии, определенного по (2.3)) среди N опытов к сумме изменчивостей во всех N опытах.
Найденное по (2.4) наибольшее экспериментальное значение G сравнивают с критическим (табличным) его значением Gкр.
Если G ≤ Gкр, то «подозрительное» максимальное значение изменчивости не является «инородным», а представляет собой результат случайного рассеяния исследуемой функции отклика, то есть эксперименты воспроизводимы, и их результаты можно использовать для оценки коэффициентов регрессии.
Если G > Gкр, то эксперименты не воспроизводимы, то есть неконтролируемые и неуправляемые факторы создают на выходе слишком большой уровень «шума». Необходимо проверить следующую точку (имеющую второе по величине значение S2) и так далее, то есть нужно выявить все точки, в которых эксперимент не воспроизводим. При этом можно увеличить число параллельных опытов.
3. Создается математическая модель объекта с проверкой статистической значимости коэффициентов полинома.
После выполнения ПФЭ осуществляют независимую оценку коэффициентов полинома по следующей формуле:
(2.5)
где X i принимает значения +1 или –1 в соответствии с матрицей планирования.
В числителе (2.5) фактически стоит сумма средних значений выходного параметра по всем опытам с учетом уровня независимой переменной Xi в -м опыте.
По формуле (2.5) можно найти также коэффициенты bij при произведениях факторов XiXj (i ≠ j). Значения этих коэффициентов п

Определить параметры модели и ее адекватность по приведенным экспериментальным данным. Доверительная вероятность Р = 0,95.
Таблица 6 – Исходные данные
Номер
опыта X0 X1 X2 X1X2 Значения отклика





y1 y2 y3 y4 y5
1 1 -1 -1 1 12 12,1 12,7 12,5 14,7
2 1 1 -1 -1 14,7 14,9 12 14,2 14,1
3 1 -1 1 -1 18,2 17,1 17,4 16 17,4
4 1 1 1 1 22,9 21,4 23 21,1 22,1