Математические модели экономических систем

Введение
Основные математические понятия в экономике

Паутинообразная модель рынка

Модель экономического цикла Самуэльсона—Хикса

Динамическая модель Леонтьева
Эффективность рекламы
Спрос и предложение
Модель рынка с прогнозируемыми ценами
Модель естественного роста выпуска
Заключение

Основные математические понятия в экономике

Модель – это условный образ объекта (в качестве которого могут выступать системы или понятия), формирующий представление о нём в некоторой форме, отличной от реального существования данного объекта. Модель какого-либо объекта отображает его основные характеристические свойства в некоторой абстрактной форме. Также модель может полностью или частично воспроизводить структуру, которая моделируется, систему и её функции.
Система – это множественное число взаимосвязанных элементов, которые составляют определённое единство. Элемент системы – часть системы, которая, исходя из цели и функций данной системы, является неделимой.
Сложная система – это множество разных структур и элементов этих структур. Подсистема – часть системы, которая выделена с определённой целью; может рассматриваться как самостоятельная система.
Математическая модель – это описание исследуемого экономического явления или процесса с помощью абстрактных математических соотношений.
...

Паутинообразная модель рынка

Будем предполагать, что производители зерна определяют предложение s товара в текущем периоде на основе цены р, установившейся в предшествующем периоде, а спрос d на товар изменяется в зависимости от цены в данном периоде. Предположение о запаздывании предложения от цены вполне объяснимо. Действительно, решение об объеме производства принимается с учетом текущих цен, но производственный цикл имеет определенную продолжительность, и соответствующее этому решению предложение появится на рынке по окончании данного цикла.
Если спрос и предложение линейно зависят от р, то динамика
цены описывается следующими уравнениями:

s(t) = a p(t – 1)+b , d(t) = -m p(t) + n.

Здесь n > b > 0, так как при нулевой цене спрос превышает предложение; а > 0, так как функция предложения возрастающая; m > 0, так как функция спроса убывающая.
I. Решим эту задачу с помощью рекуррентного соотношения.
...

Модель экономического цикла Самуэльсона—Хикса

Воздействие факторов, влияющих на рост потребления, не мгновенно. Оно происходит с некоторым запаздыванием. В тех случаях, когда запаздывание оказывает существенное влияние на рассматриваемые процессы, его необходимо включать в соответствующее дифференциальное уравнение. В социально-экономических науках в целях простоты модели, связанные с запаздыванием, записывают уже не в виде дифференциальных, а в виде разностных уравнений, то есть в виде уравнений с дискретным временем.
Так, модель Самуэльсона-Хикса предполагает, что рост потребления c(t) запаздывает от роста национального дохода у, т. е. что

с(t) = my(t-1) + n, (1)

где m— предельная склонность к потреблению (показывает на сколько увеличится потребление при увеличении текущего дохода на единицу (), а n — автономное потребление.
Предполагается также, что предприниматели осуществляют инвестиции i(t) после того, как убедятся в том, что приращение национального дохода устойчиво.
...

Динамическая модель Леонтьева
Статическая модель межотраслевого баланса В. Леонтьева записывается следующим образом:

X = AX + Y .

Предложенная Леонтьевым динамическая межотраслевая модель является классическим примером использования систем дифференциальных уравнений в исследовании проблем экономического роста. Эта модель, включающая дополнительно матрицу коэффициентов капиталоемкости B, определяет траектории сбалансированного экономического развития. Качественные свойства этих траекторий зависят от матрицы В (I — A)-1. При некоторых условиях величина, обратная наибольшему собственному значению матрицы, определяет максимально возможный («технологический») темп прироста экономики, а соответствующий этому значению собственный вектор характеризует необходимые пропорции между объемами производства продукции на «магистральном» (с максимальным темпом прироста) участке экономического развития.
Динамическая модель В. Леонтьева выражается системой дифференциальных уравнений

.
...

Эффективность рекламы

Предположим, что торговыми учреждениями реализуется продукция В, о которой в момент времени t из числа потенциальных покупателей N знает лишь x покупателей. Предположим далее, что для ускорения сбыта продукции В были даны рекламные объявления по радио и телевидению. Последующая информация о продукции распространяется среди покупателей посредством общения друг с другом. С большой степенью достоверности можно считать, что после рекламных объявлений скорость изменения числа знающих о продукции В пропорциональна как числу знающих о товаре покупателей, так и числу покупателей, о нём ещё не знающих.
Если условиться, что время отсчитывается после рекламных объявлений, когда о товаре узнало N/ɣ человек, то приходим к дифференциальному уравнению:
dt/dx = kx(N- x) (1)
с начальными условиями x = N/ ɣ при t = 0 . В уравнении (1) коэффициент k – это положительный коэффициент пропорциональности.
...

Спрос и предложение

Как известно, спрос и предложение – экономические категории товарного производства, возникающие и функционирующие на рынке в сфере товарного обмена. При этом спрос – представленная на рынке потребность в товарах, а предложение – продукт, который есть на рынке или может быть доставлен на него. Одним из экономических законов товарного производства является закон спроса и предложения, который заключается в единстве спроса и предложения и их объективном стремлении к соответствию.
Рассмотрим следующую задачу. Пусть в течение некоторого (достаточно продолжительного) времени фермер продаёт на рынке фрукты (например, яблоки), причём продаёт их после уборки урожая, с недельными перерывами. Тогда при имеющихся у фермера запасах фруктов недельное предложение будет зависеть как от ожидаемой цены в наступающей неделе, так и от предполагаемого изменения цены в последующие недели.
...

Модель рынка с прогнозируемыми ценами

Рассмотрим модель рынка с прогнозируемыми ценами. В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар. Однако спрос и предложение в реальных ситуациях зависят ещё и от тенденции ценообразования и темпов изменения цены. В моделях с непрерывными и дифференцируемыми по времени t функциями эти характеристики описываются соответственно первой и второй производными функции цены P(t) .
Рассмотрим конкретный пример. Пусть функции спроса D и предложения S имеют следующие зависимости от ценыР и её производных:
D(t) = 3P´´- P´ - 2P +18; (1)
S(t) = 4P´´ + P´ + 3P + 3.
Принятые в (1) зависимости вполне реалистичны: поясним это на слагаемых с производными функции цены.
1. Спрос «подогревается» темпом изменения цены: если темп роста увеличивается ( P´´> 0 ), то интерес рынка к товару становится больше, и наоборот.
...

Модель естественного роста выпуска

Будем полагать, что некоторая продукция продаётся по фиксированной цене Р. Обозначим через Q(t) количество продукции, реализованной на момент времени t , тогда на этот момент времени получен доход, равный PQ(t) . Пусть часть указанного дохода расходуется на инвестиции в производство реализуемой продукции:
I (t) = mPQ(t), (1)
где m – норма инвестиции, постоянное число, причём 0 < m < 1 .
Если исходить из предположения о ненасыщаемости рынка (или о полной реализации производимой продукции), то в результате расширения производства будет получен прирост дохода, часть которого опять будет использована для расширения выпуска продукции. Это приведёт к росту скорости выпуска (акселерации), причём скорость выпуска пропорциональна увеличению инвестиций:
Q´ = l I , (2)
где 1/l – норма акселерации. Подставив в (2) формулу (1), получим:
Q´ = kQ , где k = lmP.
...

Заключение

В 1956 году в статье «Вклад в теорию экономического роста» Р. Солоу предложил математическую модель, выраженную в форме системы дифференциальных уравнений, которая показывает, как возросший основной капитал вызывает рост продукции на душу населения. Основной вывод, вытекающий из анализа решения этой системы, заключается в том, что темпы экономического роста, рассмотренные на протяжении длительного периода времени, не зависят от темпа роста капиталовложений. Определяющими факторами экономического роста являются не капиталовложения, а технический прогресс и эффективное использование ресурсов. Впоследствии этот удивительный вывод был подтвержден при анализе развития экономики. Было доказано, что 7/8 роста американской экономики за период с 1909 по 1949 г. следует отнести за счет технического прогресса и лишь 1/8 за счет капиталовложений.
Это открытие подчеркивает огромную роль науки, образования, бережного отношения к людям и знаниям.
...