Теория игр

Матричная игра – это конечная игра двух игроков с нулевой суммой.
Конечная игра – игра, в которой все игроки имеют конечное число возможных стратегий.
Игра с нулевой суммой – игра в которой общий капитал всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками. Сумма выигрышей всех игроков в этой игре равна нулю.
Выигрыш игрока 1 в матричной игре задается в виде матрицы. Строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 1. Столбец матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 2. На пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям. Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение и оно может быть легко найдено путём сведения игры к задаче линейного программирования.

Целью данной работы является описание матричных, кооперативных игр и игр с природой. Для достижения поставленной цели необходимо произвести поиск теоретического материала по данным типам игр. Необходимо дать определение каждому типу игры и привести основные понятия. Желательно привести примеры применения рассмотренных теорий для решения практических задач.

2) Смешанное расширение матричной игры

В матричной игре исследование начинается с нахождения её седловой точки в чистых стратегиях. Если у матричной игры есть седловая точка в чистых стратегиях, то нахождением седловой точки заканчивается исследование игры. Если в игре нет седловой точки в чистых стратегиях, то можно найти нижнюю и верхнюю чистые цены игры. Они указывают на то, что игрок 1 не должен надеяться на выигрыш больший, чем верхняя цена игры, и может быть уверен в получении выигрыша не меньше нижней цены игры. Улучшение решений матричных игр необходимо искать в использовании секретности применения чистых стратегий и возможности многократного повторения игр в виде партии. Этот результат достигается тогда, когда применяются чистые стратегии случайно, с определённой вероятностью.
Смешанная стратегия игрока – полный набор вероятностей применения его чистых стратегий.
Если игрок 1 имеет m чистых стратегий 1,2,...,m, то его смешанная стратегия x удовлетворяет соотношению .
...

Вывод главы 1

В этой главе дано определение матричной игре, конечной игре и игре с нулевой суммой. Рассмотрено решение матричных игр в чистых стратегиях. Даны понятия чистой стратегии, нижней и верхней чистых цен игры, седловой точки в чистых стратегиях, решения игры. Приведены два примера, в которых ищутся решения матричных игр. В первом примере найдена седловая точка, а во втором примере седловой точки не существует.
Рассмотрено смешанное расширение матричной игры. Даны определения смешанной стратегии игрока, оптимальной смешанной стратегии. Приведена теорема о минимаксе.

Глава 2. Кооперативные игры

Кооперативная игра – игра, в которой игроки могут вступать в коалиции. В этих играх коалиции наперёд определены2.
Кооперативные игры получаются в тех случаях, когда, в игре n игроков разрешается образовывать коалиции. Пусть N – множество всех игроков, N ={1, 2, ..., n}, а K – любое его подмножество.
...

Вывод главы 2

В этой главе дано определение кооперативной игре. Даны понятия характеристической функции игры, простой характеристической функции, простейшей характеристической функции, выигрывающих и проигрывающих коалиций, дележа игры, классической кооперативной игры, существенной и несущественной кооперативной игры, стратегически эквивалентной игры.
Приведены свойства характеристической функции бескоалиционной игры.



Глава 3. Игры с природой

Игра с природой – игра между человеком и природой, погодой, покупательским спросом и т. д.
В играх с природой имеется неопределенность, вызванная отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие (погода, покупательский спрос и т. д.). Эти условия зависят от объективной действительности. Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, а второй игрок (природа, покупательский спрос) действует случайно.
...