Линии на плоскости

ВВЕДЕНИЕ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1. Аналитическая геометрия. Общие положения
2. Системы координат на плоскости
3. Переход от полярной системы координат к декартовой
3.1. Линия в полярной системе координат
3.2. Линии в декартовой системе координат
4. Прямая на плоскости в декартовой системе координат
5. Кривые второго порядка
5.1. Окружность
5.2. Эллипс
5.3. Парабола
5.4. Гипербола
6. Привидение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
7. Построение кривой, заданной параметрическими уравнениями
8. Общая схема исследование функций
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1. Задание
2. Задание
3. Задание
4. Задание
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Аналитическая геометрия. Общие положения

Аналитическая геометрия – раздел математики, в котором изучаются геометрические объекты с помощью алгебраических методов. Основным методом аналитической геометрии является метод координат, который позволяет каждой точке плоскости поставить в соответствие пару чисел – их координат и каждой точке пространства – тройку чисел.
Аналитическая геометрия решает две основные задачи:
• Известно уравнение некоторого геометрического места точек в определенной системе координат. Требуется установить, каким свойством обладают точки этого геометрического места.
• Обратная задача: задано некоторое геометрическое место точек, обладающих определенным свойством. Требуется составить уравнение, которому удовлетворяют координаты этого геометрического места точек относительно какой-либо системы координат.
Рассмотрим способы задания линии на плоскости.

2.
...

3.2. Линии в декартовой системе координат

Прямоугольной декартовой системой координат на плоскости называют две взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом и одинаковой масштабной единицей. Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат. Координатой точки на плоскости называют пару чисел x и y, где . Записываются так: .
Уравнение F(x,y)=0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей линии, а координаты любой точки, не принадлежащей линии, уравнению не удовлетворяют.
Пусть на плоскости задана прямоугольная декартовая система координат. Для того, чтобы составить уравнение некоторого геометрического места точек, нужно взять любую точку М(х,у) этого геометрического места и, используя свойства геометрического места точек, получить уравнение F(x,y)=0.

4.
...

4. Прямая на плоскости в декартовой системе координат

На прямой берем произвольную точку M(x,y) и, используя свойства этой прямой, составляем уравнение, которому должны удовлетворять координаты этой точки.
Существует два способа задания прямой линии на плоскости.
1. На прямой задана точка M0(x0,y0) и известен нормальный вектор прямой =(A,B) (любой вектор перпендикулярный данной прямой).
Пусть M(x,y) – произвольная точка прямой. Векторы и ортогональны и следовательно их скалярное произведение равно нулю.

Уравнение прямой в векторной форме имеет вид:
.
В координатной:
A(x-x0)+B(y-y0)=0 .
Уравнение, записанное в виде:
Ax+By+C=0,
где C= -Ax0-By0 называется общим уравнением прямой. Коэффициенты при x и y в общем уравнении прямой определяют координаты нормального вектора прямой.
2. На прямой задана точка M0(x0,y0) и известен направляющий вектор прямой (любой вектор параллельный данной прямой).
Возьмем на прямой произвольную точку M(x,y).
...

5.1. Окружность
Окружность есть геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки – центра на данное расстояние – радиус.
Окружность определена, если заданы её центр и радиус.
Каноническое уравнение окружности с центром в точке и радиусом имеет вид:
.
Полагая , получим уравнение окружности с центром в начале координат:
.
5.2. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (её принято обозначать ).
Для того, чтобы получить уравнение эллипса в простом виде ось ОХ направим через фокусы, а начало координат поместим в середине отрезка, соединяющего фокусы. Пусть М(х,у) – любая точка эллипса. По определению эллипса

Обозначим расстояние между фокусами через . Тогда фокусы будут иметь координаты и . Длина первого вектора и второго , поэтому:

или
.
Возведем в квадрат и получим:
.
Еще раз возведем его в квадрат и получим:
.
...

5.3. Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается через . Параметр характеризует ширину параболы. Каноническое уравнение параболы симметричной относительно оси с вершиной в начале координат: .

Рассмотрим другие варианты уравнений параболы:
Парабола также симметрична относительно оси , вершина её находится в начале координат, но ветви (, ) направлены влево.
Уравнения задают параболу симметричную относительно оси с вершиной в начале координат. Знак «плюс» соответствует параболе с ветвями, направленными вверх. Знак «минус» соответствует параболе с ветвями, направленными вниз.
Уравнения и определяют параболы со смещенной вершиной. Вершина находится в точке с координатами .
...

5.4. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами, взятая по абсолютной величине, постоянна. Абсолютную величину этой разности принято обозначать .
Каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат и полуосями действительной и мнимой записывается в виде:
.
Точка называется центром гиперболы, точки называются вершинами гиперболы, и – фокусами гиперболы. Отрезки и , а также их длины и называются соответственно действительной и мнимой осями гиперболы. Числа и называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Длина отрезка , равная , называется фокусным расстоянием, а – полуфокусным расстоянием. Величины и связаны соотношением . Гипербола – кривая, симметричная относительно начала координат и координатных осей. В отличие от эллипса гипербола незамкнутая кривая, имеющая асимптоты, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются.
...

6. Привидение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Установим на плоскости прямоугольную декартову систему координат и рассмотрим общее уравнение второй степени

Множество точек, координаты которых удовлетворяет уравнению , называется линией (или кривой) второго порядка. Как известию, при некоторых частных значениях коэффициентов уравнение будет уравнением эллипса ,гиперболы , параболы.
Обозначим через  единичные векторы, направленные по осям выбранной (прямоугольной) системы координат. Группу старших членов

уравнения можно рассматривать как квадратичную форму приводится к сумме квадратов

Пусть вектор получается из вектора  поворотом на угол  против часовой стрелки. Так как вектор ортогонален ей ,то вектора получается из вектора  либо поворотом на угол  либо поворотом на угол  и симметрией относительно начала координат. Во втором случае заменим его на вектор , который тоже будет собственным вектором матрицы  с тем же собственным значением .
...

7. Построение кривой, заданной параметрическими уравнениями

Существуют следующие способы аналитического задания линий (или кривых) на плоскости: явный, неявный и параметрический. Если обратиться к прямоугольной системе координат, то при явном способе задания кривой переменная y явно выражается через переменную x формулой y = f (x) (2).
При этом значения x берутся из некоторого непустого числового множества X . В этом случае принято говорить, что уравнение (2) задающее кривую, разрешено относительно переменной y . Это самый распространённый и удобный для исследования свойств кривых способ их задания на плоскости.
В других случаях кривая может быть задана уравнением с двумя переменными x и y вида
F(x, y) = 0 , (3)
не разрешённым относительно переменной y . Тогда говорят о неявном способе задания кривой. Например, уравнение xy = 1 задаёт неявным образом на плоскости гиперболу.
...

8. Общая схема исследование функций

1. Найти область определения функции.
Областью определения функции называется совокупность всех значений независимой переменной , для которых функция определена.
2. Определить является функция четной, нечетной или общего вида.
Функция , определенная на множестве , называется четной, если выполняется условие и , называется нечетной, если выполняется условие и .
График четной функции симметричен относительно оси , график нечетной – относительно начала координат.
Если функция является четной или нечетной, то исследование можно провести только для и при построении графика воспользоваться его симметричностью.
3. Определить является ли функция периодической.
Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве, если существует такое число , что для и . При этом число называется периодом функции. Наименьшее положительное число , удовлетворяющее равенству , является основным периодом функции.
...

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Задание - Исследование уравнения кривой, заданной полярной системой координат и её построение.
Уравнение исследуемой кривой: r =sin4;
Область определения r sin4
2

k=0 0
k=1
k=2
k=3
k=4
k=5
k=6 3
k=7
k=8 - новый круг
Точки, принадлежащие данной прямой:

r

r
0
0
19/18
0,64
/18
0,64
10/9
0,98
/9
0,98
7/6
0,86
/6
0,86
11/9
0,34
/9
0,34
3/2
0
/2
0
14/9
0,64
5/9
0,64
29/18
0,98
/18
0,98
5/3
0,86
/3
0,86
31/18
0,34
13/18
0,34

0

0

Изобразим полярную систему координат , отложим найденные точки и соединим их:
Рисунок №1

2. Задание – Построение кривой второго порядка в декартовых координатах




Составим инвариант:
– параболический тип,

так как уравнение содержит смешанное произведение текущих координат, начнём упрощение с поворота координата осей, которые направлены по собственным векторам матрицы квадратной формы уравнения кривой.
...