Диофантовые уравнения

Оглавление
1. Введение 2
2. История возникновения диофантовых уравнений 4
Диофант и история диофантовых уравнений 8
Число решений уравнения 10
Уравнения с одной неизвестной 12
Уравнения с двумя неизвестными 12
Примеры решений задач 16
О «многоугольных числах» Диофанта. 18
Диофант Александрийский «О многоугольных числах» 20
Треугольные числа 21
Квадратные числа 21
Пятиугольные числа 22
Общий случай 22
3. Общее решение линейных диофантовых уравнений 23
3.1 Однородные уравнения 23
3.2 Общие линейные уравнения 23
4. Примеры задач 25
Задача 1 25
Задача 2 (одна из задач Диофанта) 25
Задача 3 25
Задача 4 26
5. Заключение 27
Список использованных источников 28
Приложение 1 29

 

Введение

В наши дни каждый, кто занимался математикой как профессионал или как любитель, слышал о диофантовых уравнениях и даже о диофантовом анализе. За последние 15–20 лет эта область сделалась «модной» благодаря своей близости к алгебраической геометрии — властительнице дум современных математиков. Между тем, о том, кто дал имя неопределённому анализу, о самом Диофанте, одном из наиболее интересных учёных античности, почти ничего не написано. О его работах даже историки науки имеют самое превратное представление. Большинство из них считает, что Диофант занимался решением отдельных задач, равносильных неопределённым уравнениям, применяя для этого хитроумные, но частные методы.
Между тем простой разбор задач Диофанта показывает, что он не только поставил задачу решения неопределённых уравнений в рациональных числах, но и дал некоторые общие методы их решения.
В своих исследованиях мы будем анализировать решение конкретных задач, чтобы понять применённые там общие методы.
В нашей работе мы хотим осветить определённый вид математических уравнений, называемых диофантовыми, что и является целью данной работы. Нами были поставлены следующие задачи:
найти особенности диофантовых уравнений;
научиться решать данный тип математических задач;
Одной из важнейших задач алгебры всегда было решение алгебраических уравнений, к которым сводятся многие задачи математики, но при этом, методы решения уравнений с несколькими неизвестными практически не рассматриваются. На математических олимпиадах, конкурсах различного уровня очень часто предлагаются задания, предполагающие решение какого-либо уравнения в целых числах. Это и определило актуальность выбранной темы.
Определение. Диофантовым уравнением 1-ой степени (линейным) с неизвестными называется уравнение вида
,
где все коэффициенты и неизвестные – целые числа и хотя бы одно .
Для сокращения записи условимся далее сокращать фразу линейное диофантово уравнение, как ЛДУ.
Определение. Решением ЛДУ называется упорядоченная n-ка целых чисел , такая, что .
Так же мы рассмотрим «многоугольные числа» .
Определение . Каждое из возрастающих от единицы чисел, начиная
с трех, является первым, начиная от единицы, называется многоугольником и имеет столько углов, сколько в нем содержится единиц, стороной же его будет число, которое следует за единицей, т. е. 2. Тогда 3 будет треугольником, 4 — четырехугольником, 5 — пятиугольником и т. д.
Нашей целью будет научиться находить решения неопределенного уравнения , если это решение имеется, рассмотреть «многоугольные числа» Диофанта и дать их краткую характеристику.
Для этого, необходимо ответить на следующие вопросы:
1) Всегда ли ЛДУ имеет решений, найти условия существования решения.
2) Имеется ли алгоритм, позволяющий отыскать решение ЛДУ.
3) Каким образом получаются «многоугольные числа»

Работа состоит из двух частей, в первой приведены теоретические материалы, во второй решения некоторых задач.


 

Заключение
Диофант (вероятно, III в.)-древнегреческий математик из Александрии. О его жизни нет почти никаких сведений. Сохранилась часть математического трактата Диофанта "Арифметика" (6 кн. из 13) и отрывки книги о многоугольных (фигурных) числах. В "Арифметике", помимо изложения начал алгебры, приведено много задач, сводящихся к неопределенным уравнениям различных степеней, и указаны методы нахождения решений таких уравнений в рациональных положительных числах;
Мы доказали что При взаимно простых коэффициентах диофантово уравнение

имеет решение в целых числах.
Нашли алгоритм, позволяющий отыскать число решений ЛДУ.
Рассмотрели и вывели, что же такое «многоугольные числа»:
Треугольными числами в арифметике называются
суммы последовательных чисел натурального ряда, начиная с единицы.
Это будут а1 1, а2 1 2 3, а3
1 2 3 - 6,..., .

В ходе выполнения работы был получен ответ на вопрос о разрешимости неопределенных (диофантовых) уравнений первой степени в целых числах.
Решены текстовые задачи, описывающие различные практические ситуации, математической моделью которых являются диофантовы уравнения.
Нами достигнуты поставленные цели, научились находить решения неопределенного уравнения, рассмотрели «многоугольные числа» Диофанта.