Адуитивная и мультипликативная группы матриц

Введение
1. Группы матриц
1.1 Полная линейная группа
1.2 Классические группы малых размерностей
1.2.1 Общее определения
1.2.2 Параметризация групп SU(2), SO(3)
1.2.3 Эпиморфизм SU(2) SO(3).
1.2.4 Представления групп SU(2) и SO(3)
2. Мультипликативная группа поля; Неприводимые многочлены.
Заключение
Список использованной литературы

4. Кострикин, А.И. Введение в алгебру.-М.: Наука, 1977.-495с.
5. Дик, Т. Группы преобразований и теория представлений. - М.: Мир, 1982. - 227с.
6. Виберг, Э.Б. Линейное представление групп. - М.: Наука, 1985. - 144с.
7. Беллман, Р. Введение втеорию матриц. М.: Наука, 1978. - 351с.
8. Борут, А., Рончка, Р. Теория представлений групп и ее приложения. Тома 1-2. М.: Мир, 1980.
9. Вейль, Г. Классические группы, их инварианты и представления.-М.: Госиздан, 1947. - 48с.
...

1.1 Полная линейная группа

Полная линейная и специальная линейная группы степени и над полем , что и факторгруппа изоморфна мультипликативной группе поля .
Матрица, у которой ниже главной диагонали все элементы нули, а на диагонали все элементы единицы, называют верхней унитреугольной матрицей. Множество всех верхних унитреугольных матриц обозначают через . Очевидно, что является группой.
Напомним, что характеристика конечного поля всегда простое число и если - конечное поле характеристики р, то число элементов в поле равно , где -некоторое натуральное число, т.е. . Известно, что любые два конечных поля равных порядков изоморфны между собой.
Пусть поле конечно и Если - другое поле порядка , то поле изоморфно полю . Этот факт доказывается в теории полей. Но отсюда следует, что группы и изоморфны и вместо можно писать .
...

1.2.1 Общее определения
Курс линейной алгебры и геометрии снабжает нас новыми образцами групп, которые заслуживают того, чтобы остановиться на них чуть подробнее. Выделение в группах преобразований аффинных, евклидовых и эрмитовых пространств подгрупп, оставляющих на месте фиксированную точку (например, начало координат), приводит к так называемым классическим группам GL(n), SL(n), О (n), SO (n), U(n), SU(n). Отметим, что их истинное место - среди так называемых групп Ли. Следовало бы добавить по крайней мере еще симплектическую группу Sp(n). При небольших п говорят о классических группах малых размерностей. Желая избежать большой зависимости от геометрии, напомним, что выбор ортонормированного базиса в пространстве приводит к эквивалентному матричному определению ортогональной и унитарной групп:
O(n)=,
SO(n)=,
U(n)=,
U(n)=.
Здесь = - матрица, получающаяся из А = транспонированием и заменой коэффициентов комплексно-сопряженными числами .
...

2. Мультипликативная группа поля; Неприводимые многочлены.

Свойство мультипликативной группы поля.
Конечная подгруппа мультипликативной группы любого поля циклична.
Доказательство.
Проведем доказательство от противного. Пусть - конечная подгруппа. Предположим, что G не является циклической группой. Рассмотрим первое каноническое разложение: , где n>1 и n | m. Тогда G , а значит и содержит подгруппу H . Для каждого (а всего в H элементов ) имеем: . Поэтому уравнение в поле k имеет не менее корней, что невозможно, так как степень этого уравнения равна n <.
Следствие.
Мультипликативная группа конечного поля циклична.
Заметим, что этот результат нетривиален даже для простейших конечных полей GF(p). Образующие элементы группы называются первообразными корнями по модулю p. В следующей таблице приведены наименьшие первообразные корни по некоторым модулям:
модуль
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
первообразный корень mod(p)


Неприводимые многочлены над некоторыми полями.
...