Фрактальные кривые

Введение 3
Глава 1 Теоретические основы построения фрактальных кривых 4
1.1 Понятие «фрактала» 4
1.2 Классификация фракталов 8
Глава 2 Некоторые виды фрактальных кривых 10
2.1 Триадная кривая Коха 10
2.2 Дракон Хартера-Хейтуэя 12
2.3 Салфетка и ковер Серпинского 14
2.4 Дерево Пифагора 15
Заключение 19
Список используемой литературы 20

4. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. – 160 с.
5. Секованов В.С. Концепция обучения фрактальной геометрии в КГУ им. Н.А. Некрасова // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. – 2013. – № 5. – С. 153–154.
6. Секованов В.С. Элементы теории фрактальных множеств. – Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2005. – 164 с.
7. Смирнова Е.С. Методические особенности введения понятия «фрактал» // Вестник Костромского государственного университета. Серия: Педагогика. Психология. Социокинетика. – 2016. – Т.22. - №4. – С. 243-246.
8. Треугольник Серпинского [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://fractalworld.xaoc.ru/Sierpinski_triangle (Дата обращения: 26.01.2018).
9. Федер Е. Фракталы: Пер. с англ. – М.: Мир, 1991. – 254 с.
10. Фрактал Дракон Хартера-Хейтуэя [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://grafika.me/node/85 (Дата обращения: 26.01.2018).
...

1.1 Понятие «фрактала»

Впервые идеи фрактальной геометрии пытались воплотить в жизни своими работами Г. Кант и Дж. Пеано в конце XIX – начале XX вв. Немецкий математик, логик, теолог, создатель теории бесконечных множеств Г. Кантор (1845-1918) с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек. Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Получалась, так называемая, Пыль Кантора (рис. 1).

Рисунок 1 – Пыль Кантора

Итальянский математик Дж. Пеано (1858-1932) изобразил особую линию, заполняющую всю плоскость. Для этого он брал прямую и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длина исходной линии. Далее он делал то же самое с каждым отрезком. И так до бесконечности. Позднее аналогичное построение было осуществлено в трехмерном пространстве (рис. 2).

Рисунок 2 – Линия Пеано

Термин «фрактал» был введен франко-американский математик Б. Мандельброт в 70-е гг. XX в.
...

1.2 Классификация фракталов

Самой распространенной классификацией фракталов является классификация по способу построения, а именно, фракталы подразделяются на геометрические, алгебраические и стохастические [7, с. 245].
Геометрические фракталы получаются в процессе простых геометрических построений. Принцип построения один и тот же: берется некоторая геометрическая фигура и некоторый набор правил, который применяется к каждой части этой фигуры таким образом, что получается новая фигура. Затем процесс повторяют, и к каждой части полученной фигуры снова применяют тот же набор правил и так далее. Каждый последующей процесс преобразования фигуры называется итерацией. Среди геометрических фракталов можно отметить такие классические фрактальные множества как кривая Коха (рис. 3), ковер Серпинского, множество Кантора и др.

Рисунок 3 – Кривая Коха

Вторая группа фракталов – алгебраические. Построить их возможно на основе алгебраических формул.
...

2.1 Триадная кривая Коха

В 1904 году математик Кох дал пример кривой, которая нигде не имеет касательной.
Построение кривой Коха начинается с прямолинейного отрезка единичной длины L(1) = 1. Этот исходный отрезок называется затравкой и может быть заменен каким-нибудь многоугольником, например, равносторонним треугольником, квадратом. Затравка – это 0-е поколение кривой Коха. Построение кривой Коха продолжается: каждое звено затравки заменяем образующим элементом, обозначенным на рис. 5 через n = 1. В результате такой замены получаем 1-е поколение – кривую из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по . Длина всей кривой 1-го поколения составляет величину . Следующе поколение получается при замене каждого прямолинейного звена уменьшенным образующим элементом. В результате получаем кривую 2-го поколения, состоящую из N = 42 = 16 звеньев, каждое длиной . Длина кровой 2-го поколения равна .
...

2.2 Дракон Хартера-Хейтуэя

Дракон Хартера, также известный как дракон Хартера-Хейтуэя, был впервые исследован физиками NASA – John Heighway, Bruce Banks, и William Harter. Кривая дракона принадлежит к семейству некоторых фрактальных кривых, которые могут быть получены рекурсивными методами. Дракон Хартера был описан в 1967 году Мартином Гарднером (Martin Gardner) в колонке «Математические игры» журнала «Scientific American». Многие свойства фрактала были описаны Чандлером Девисом и Дональдом Кнутом [10].
Для его построения возьмем отрезок. Пусть при первом использовании образующего элемента середина образующего отрезка смещается влево. Каждое последующее поколение начинается с образующего элемента, смещенного вправо, а затем смещенные середины вправо и влево чередуются. Повторяя названные действия и уменьшая ломаные, будем получать все более сложные линии, напоминающие фигуру дракона (рис. 8) [9, с. 29].
...

2.3 Салфетка и ковер Серпинского

В 1915 году польский математик Вацлав Серпинский придумал занимательный объект, известный как решето Серпинского. Этот треугольник один из самых ранних известных примеров фракталов. Существует несколько способов построения этого фрактала.
Один из них представляет следующий процесс. Затравка – треугольник со всеми внутренними точками. Образующий элемент исключает из затравки центральный треугольник. Берется сплошной равносторонний треугольник, на первом шаге из центра удаляется треугольник. На втором шаге удаляется три центральных треугольника из трех оставшихся треугольников. Продолжая этот процесс, на n-ом шаге удаляем 3n-1 центральных треугольников из центров 3n-1 оставшихся треугольников [8]. Конца этому процессу не будет, и в треугольнике не останется живого места, но и на части он не распадется – получится объект, состоящий из одних только дырок. Это и есть треугольник Серпинского.
...

2.4 Дерево Пифагора

Дерево Пифагора – разновидность фрактала, основанная на фигуре, известной как «Пифагоровы штаны».
Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему, построил фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты. В наш век эта фигура Пифагора выросла в целое дерево. Впервые дерево Пифагора построил А.Е. Босман (1891-1961) во время второй мировой войны, используя обычную чертежную линейку (рис. 10).

Рисунок 10 – Дерево Пифагора
Если пронумеруем квадраты, как на рис. 11, то обнаружим, что квадрат с индексом n «держит на себе» равнобедренный треугольник, от которого произрастают два более мелких квадрата. Квадраты слева имеют индекс 2n, справа – 2n+1). Вместе прямоугольный треугольник, два квадрата на его катетах и квадрат на гипотенузе дают геометрическое представление теоремы Пифагора. Если площадь первоначального квадрата равна единице, то общая площадь квадратов 2 и 3 также будет единица. То же самое получим для каждого следующего уровня.
...

Заключение

Основой фрактальной геометрии является идея самоподобия. Она выражает собой тот факт, что иерархический принцип организации фрактальных структур не претерпевает значительных изменений при рассмотрении их через микроскоп с различным увеличением. В результате эти структуры на малых масштабах выглядят в среднем так же, как и на больших.
Одной из основных характеристик фрактальных множеств также является размерность. Существует несколько способов нахождения размерности фракталов. Выбор того или иного способа зависит от вида множества, от особенностей его построения. Отличительной особенностью фракталов является дробное значение фрактальной размерности, но бывают и исключения.
Еще одной отличительной характеристикой фрактальных множеств является то, что они могут быть построены исключительно с помощью компьютерных средств.
...