Псевдообратные матрицы

Equation Chapter 1 Section 1Содержание
Введение 3
1 Понятие псевдорешения системы линейных уравнений и псевдообратной матрицы 6
1.1 Минимизация невязки 6
1.2 Псевдообратная матрица 10
1.3 Вычисление псевдообратной матрицы 15
1.3.1 Общие данные 15
1.3.2 Прямое получение скелетного разложения матрицы 16
1.3.2 Вторая форма сингулярного разложения 17
1.3.3 Метод Гревиля 21
2 Основные свойства и применение псевдообратной матрицы 25
Список источников 33

ВВЕДЕНИЕ
В практических задачах часто бывает нужно найти решение, удовлетворяющее большому числу возможно противоречивых требований. Если такая задача сводится к системе линейных уравнений, то система оказывается, вообще говоря, несовместной.
В этом случае задача может быть решена только путем выбора некоторого компромисса – все требования могут быть удовлетворены не полностью, а лишь до некоторой степени. Поясним это следующим примером.
Пусть из физических соображений можно считать, что в некоторой области их изменения величины у и х связаны линейной зависимостью вида у kxb, а коэффициенты должны быть установлены экспериментально [3].
Экспериментальные данные представляют собой т точек на координатной плоскости (х1, у1), ..., (хт, ут).
Если эти пары значений действительно связаны искомой зави-симостью, то подстановка их в уравнение приводит нас к системе из т линейных уравнений для двух неизвестных kи b:

При любых различных xiп xjпара точек (xiуi) и (xj, уj) определяет прямую. Но другая пара точек определяет другую прямую, и у нас нет оснований выбрать какую-нибудь одну из всех прямых.
Если экспериментальные данные в достаточной степени заслуживают доверия, то несовместность системы служит основанием для того, чтобы отвергнуть гипотезу о линейной зависимости. Вопрос о совместимости экспериментальных данных с гипотезой линейной зависимости решается статистическим анализом.
Пусть точность исходной информации допускает существование линейной зависимости. В этом случае то, что в действительности нужно, – это найти такую прямую на координатной плоскости, которая, может быть, не проходит ни через одну пару экспериментальных точек, или даже ни через одну из точек, но в каком-то смысле возможно более близко расположена ко всем точкам (Рис. 1).

Рис. 1.
Обычно в этой задаче удаленность точки от прямой измеряют не расстоянием, а разностью ординат yi-kxi-b,и выбирают прямую так, чтобы сумма квадратов всех таких разностей была минимальна.
Коэффициенты k0и b0 уравнения этой прямой дают некоторое решение стоящей перед нами задачи, которое отнюдь не является решением системы линейных уравнений (вообще не имеющей решений). Можно считать числа k0и b0обобщенным решением системы или, как говорят, псевдорешением [6]. Точное определение этого понятия будет дано ниже.
В первом и второмразделе данной работы была поставлена цель описать такие элементарные свойства псевдорешений и связанных с ними псевдообратных матриц, которые можно без труда вывести, не используя ничего, кроме известных из общего курса теорем о системах линейных уравнений и об ортогональных дополнениях подпространств в евклидовом пространстве
Мы будем рассматривать систему линейных уравнений:
(1)
с матрицей А размеров тxп. Буква r будет обозначать ранг этой матрицы.
Никаких условий на т, п и r, вообще говоря, не накладывается.
Поскольку х– столбец высоты п, а b– столбец высоты т, для геометрической иллюстрации естественно будет исполь зовать арифметические пространства и . Под нормой столбца хс элементами х1,…,хп мы будем понимать его евклидову норму т. е. число

Третийраздел посвящен практическим приемам и способам вычисления псевдообратной матрицы.
Вовторой главе даются примеры практического применения псевдообратных матриц.
 

Покажем, что система (46) всегда имеет одно и только одно наилучшее приближенное решение и это приближенное решение определяется по формуле
, (50)
где — псевдообратная матрица для матрицы .
Для этого рассмотрим произвольный столбец и положим
,
где
, . (51)
Тогда
. (52)
Но
. (53)
Исходя из разложения (36) и формулы (45), найдем:
.
Поэтому из равенства (53) следует
, (54)
но тогда и
. (54')
Поэтому из равенства (52) находим
, (55)
и, следовательно, для любого столбца
. (56)
Пусть теперь
;
тогда, согласно равенству (55)
, (57)
где
.
С другой стороны,
. (58)
Вспоминая, что , получим в силу (57):
. (59)
Но тогда и
.
Поэтому из равенства (58) находим
,
и, следовательно
, (60)
причем знак имеет место только при , т.е. при , где .
Пример. Найти наилучшее приближенное решение (по методу наименьших квадратов) системы линейных уравнений :
,
,
.
Здесь
.
Но тогда
,
и поэтому
.
Следовательно,
, , , .
Определим норму - матрицы как неотрицательное число, задаваемое формулой
. (61)
При этом очевидно, что
. (61')
Рассмотрим матричное уравнение
, (62)
где и – заданные и -матрицы, а - искомая -матрица.
Определим наилучшее приближенное решение уравнения (62) из условия
,
причем в случае, когда
,
требуется, чтобы
.
Из соотношений
, (63)
(64)
следует, что -й столбец искомой матрицы должен быть наилучшим приближенным решением системы линейных уравнений

Поэтому

Поскольку это равенство справедливо при любом то
. (65)
Таким образом, уравнение (62) всегда имеет одно и только одно наилучшее приближенное решение, определяемое формулой (65).
В частном случае, когда — единичная матрица -го порядка, имеем . Следовательно, псевдообратная матрица является наилучшим приближенным решением (по методу наименьших квадратов) матричного уравнения
.
Это свойство псевдообратной матрицы может быть принято в качестве ее определения.
2.2 Решение задания из задачника Икрамова
Решим задание 7.8.13. Найти нормальноепсевдорешение системы линейных уравнений:

Решение.
Имеем:

Ответ: