Целочисленная арифметика многоратной точности

Содержание
Введение 3
Глава 1. Основные алгоритмы арифметических операций. 6
§1.1. Сложение и вычитание 6
§ 1.2. Умножение 7
§ 1.3. Деление 12
Глава 2. Некоторые алгоритмы модулярной арифметики 24
§ 2.1. Алгоритм Гарнера. 24
§ 2.2. Алгоритм Монтгомери 25
Заключение 28
Список литературы 29

Введение
Арифметика (греч. – число) – наука, которая изучает действия над целыми числами, учит решать задачи, сводящиеся к сложению, вычитанию, умножению и делению целых чисел. Арифметика-это основа математики, познав которую можно спокойно изучить её сложные разделы, такие как алгебра, математический анализ и т.д. Целые числа, являющиеся основным объектом арифметики, при рассмотрении из свойств и закономерностей, относят к высшей арифметике, или теории чисел.
Арифметика является также названием школьной дисциплины, знакомящей с положительными рациональными числами, арифметическими действиями с ними и некоторыми сведениями о делимости целых чисел. Арифметика способствует развитию логического мышления у детей, их сообразительность, дает необходимую подготовку к практической деятельности и дальнейшего изучения математики и физики. В средней школе дополняются знания о числах, расширяя их круг до отрицательных, рациональных, иррациональных и алгебраических. Соответствующие разделы теории чисел принято объединять в учебную дисциплину высшей педагогической школы под названием теоретическая арифметика.
Арифметика и геометрия – давние спутники человека. Эти науки возникли, когда появилась необходимость считать предметы, измерять земельные участки и время. Арифметика возникла в странах древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии, Египте. Например, египетский папирус Ахмеса (названный по имени его владельца Г. Ахмеса) принадлежит к ХХ в. до н. н.э. Среди других сведений он содержит расписание дробей на сумму дробей с числителем – единицей, например:
Математические знания накопленные в странах древнего Востока развивали дальше ученые древней Греции. В истории сохранились имена многих ученых, занимавшихся арифметикой в античном мире: Анаксагор, Зенон, Евклид, Архимед, Эратосфен, Диофант. Особо нужно отметить имя Пифагора, Пифагорейцы (ученики и последователи Пифагора) любили числа и считали, что они содержат всю гармонию мира. Отдельным числам и парам чисел приписывались особые свойства. Особо выделяли числа 7 и 36, тогда же были отмечены вниманием так называемые идеальные числа, дружественные числа, т.
В средние века развитие арифметики плотно связано с Востоком: Индией, странами арабского мира и Средней Азии. От индийцев мы получили цифры, которые мы используем каждый день, ноль и позиционная система счисления, от аль-Каши (XV век), работавшего в самаркандской обсерватории Улугбека, – десятичные дроби. Развитие торговли и влияние восточной культуры начиная с XIII в. повышает интерес к арифметике и в Европе. Итальянский ученый Леонардо Пизанского (Фибоначчи) в своей книге «Книга абака» познакомил европейцев с основными достижениями математики Востока и стал началом многих исследований в арифметике и алгебре.
Основной объект арифметики – число. Натуральные числа возникли со счета конкретных предметов. Прошло много тысячелетий, прежде чем люди усвоили, что две птицы, две руки, два человека можно назвать одним и тем же словом – «два». Важная задача арифметики – научиться абстрагироваться от формы предметов, их размера, цвета. Уже в Фибоначчи является задача: «Семь женщин идут в Рим. В каждой по 7 мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе 7 ножей, каждый чем в 7 ножнах. Сколько всех? »Для решения этой задачи добавить женщин мулов, мешки и хлеба. Развитие понятия числа – появление нуля и отрицательных чисел, обыкновенных и десятичных дробей, способы записи чисел (цифры, обозначения, системы счисления) – все это имеет богатую и интересную историю.
В арифметике числа добавляют, отнимают, умножают и делят. Искусство быстро и безошибочно выполнять эти действия над любыми числами долго считалось важнейшей задачей арифметики. В наше время устно или на бумаге мы делаем лишь простейшие вычисления, а сложные – с помощью вычислительной техники.
Среди важных понятий, которые ввела арифметика, были пропорции и проценты. Большинство понятий и методов арифметики основывается на зависимостях между числами. В истории математики процесс слияния арифметики и геометрии происходил в течение многих веков. Можно четко проследить «геометризации» арифметики: сложные правила и закономерности, выраженные формулами, становятся понятными, если удается изобразить их геометрически. Большую роль в самой математике и ее приложениях играет обратный процесс – перевод геометрической информации на язык чисел (см. Графические вычисления). В основе этого перевода лежит идея французского философа и математика Рене Декарта определения точек на плоскости координатами. Разумеется, к нему эта идея уже использовалась, например в морском деле, когда надо было определить местонахождение корабля, а также астрономии, геодезии. Но именно от Декарта и его учеников идет последовательное применение языка координат. И в наше время при управлении сложными процессами (например, полетом космического аппарата) предпочитают иметь всю информацию в виде чисел, и обрабатывает вычислительная машина.

Заключение
В данной работе были рассмотрены алгоритмы работы с целыми числами для выполнения арифметических операций над ними. Были рассмотрены алгоритмы сложения неотрицательных чисел, вычитания неотрицательных чисел. Несколько алгоритмов умножения и деления чисел. Конечно данная работа охватывает только основную часть алгоритмов, которые являются более популярными и часто используемыми в данной отрасли знаний.