Неопределенный и определенный интеграл, его свойства

1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

1.1 Неопределенный интеграл и его свойства.

1.2 Определенный интеграл и его свойства.

2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ:

Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями.

1.1 Неопределенный интеграл и его свойства.

В интегральном исчислении решается задача, обратная дифференциальному исчислению: найти функцию F(х), зная ее nроизводную F'(х)=f(x) (или дифференциал). Искомую функцию F(х) называют первообразной функции f(x).
Функция F(х) называется первообразной функции f(x) на интервале (а;b), если для любого х, принадлежащего (а;b) выполняется равенство:
F'(х) = f(x) (или dF(x) = f(x)dx).
Множество всех первообразных функций F(x) + С для f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) иобозначается символом .
Таким образом, по определению:
= F(x) + C
Здесь f(x) называется подынтегральной функцией f(x)dx – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, ∫ – знаком неопределенного интеграла.
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется
интегрированием этой функции.
...

1.2 Определенный интеграл и его свойства.
Если при любых разбиениях отрезка [a,b] таких, что max ∆→ 0, и при любом выборе точек на отрезках [ , ] интегральная сумма

стремится к одному и тому же пределу S, то этот предел называют определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] и обозначают .
Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а;b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = f(x) на отрезке [а;b] и обозначается .
Таким образом,

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – подытегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, отрезок [a,b] – областью (отрезком) интегрирования.

Рассмотрим основные свойства определенного интеграла:
1.
...

2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Задание 1
Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций

Решение:
Строим область, площадь которой находим (Рисунок 1)

Рисунок 1

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

Ответ: 1.

Задание 2
Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями.

Решение
Строим область, площадь которой находим (Рисунок 2)

Рисунок 2

Найдем точки пересечения:

Так как функции , периодичны (с периодом , то берем любой отрезок длинной . Возьмем . Тогда:

на отрезке .
Вычисляем площадь:

Ответ:.

Задание 3
Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.
...