Метод установления решения СЛАУ. Явный итерационный метод Чебышева

Введение 3
1. Основные определения 5
2. Итерационный метод П.Л. Чебышева 6
3. Применение итерационного метода Чебышёва 10
4. Решение СЛАУ методом простой итерации 16
Заключение 19
Литература 21

Несмотря на широкое распространение многочисленных и эффективных пакетов прикладных программ, включающих подпрограммы и функции решения систем алгебраических уравнений для лучшего понимания и усвоения механизмов и методов, лежащих в основе численных моделей решений необходимо «вручную» освоить основные из них. Ни один из известных пакетов прикладных программ не содержит неустойчивых методов, также как и неудачных аппроксимаций. Однако на практике достаточно часто имеет место некорректный выбор метода, непонимание границ его применимости, что приводит к некорректным результатам в соответствующих предметных областях.
В этой работе исследуется один из методов решения систем линейных уравнений с вещественными коэффициентами относительно неизвестных, также принимающих вещественные значения: итерационный метод. В отличие от точных методов решения, которые теоретически позволяют получить значения неизвестных в результате проведения конечного числа арифметических операций (напр. метод Крамера), итерационные методы позволяют получить искомое решение лишь в виде предела последовательности векторов, построение которых производится с помощью единообразного процесса, называемого процессом итераций (последовательных приближений).
Преимущество итерационных методов проявляется наиболее полно при использовании в компьютерных вычислениях, поскольку они предоставляют следующие возможности:
получить решение задаваемой системы с заранее известной погрешностью;
большинство известных методов ориентированы на решение задач большой размерности.
Итерационные методы решения систем линейных уравнений, обычно применяют, если порядок системы велик, например сотни или тысячи уравнений, и применение любых прямых методов затруднено в связи с очень большим количеством вычислений.



 

Итерационные методы решения СЛАУ используются для решения СЛАУ большой размерности с разреженными матрицами, а также для уточнения решения СЛАУ, полученного с помощью любого прямого метода. Формулировка и применение итерационных методов требует определенных знаний и определенного опыта. Выбор эффективного итерационного метода решения конкретной задачи существенно зависит от ее характерных свойств.
В приведенном примерах были исследованы две системы. Одна из них позволила успешно применить явный итерационный метод Чебышёва: итерационный процесс был сходящимся. Для второй системы итерационный метод Чебышёва оказался расходящимся, и для ее решения был использован метод простой итерации. Он показал сходимость. Однако его вычислительная эффективность оказалась ниже в сравнении с методом Чебышёва и потребовала большее количество итераций. Однако итерационный процесс сошелся.
Поэтому никаких общих правил выбора наилучшего итерационного метода решения не существует.
Оптимальным же является комплексное применение методов решения СЛАУ, т.е. получение приближенного решения с помощью прямого метода и последующего уточнения решения с помощью итерационных методов.