Изучение строения групп гомоморфизмов абелевых групп

Содержание
Введение 3
Глава 1. Основные сведения из теории групп. 5
1.Определение группы. Примеры. 5
2. Подгруппы. Смежные классы 9
3. Нормальные подгруппы 15
4. Прямые произведения 17
Глава II: Гомоморфизмы групп 20
1. Определение гомоморфизмов групп. Ядро и образ. 20
2. Эндоморфизмы и автоморфизмы групп. 25
3. Гомоморфизмы абелевых групп 32
4. Примеры групп гомоморфизмов абелевых групп. 33
Литература 35

Введение

Понятие группы возникшее в XVIIIвеке, явилось следствием развития не-скольких математических дисциплин. В теории решения алгебраических уравнений в радикалах в трудах Ж. Лагранжа и А. Вандермонда в 1771 г. впервые для нужд этой теории были применены подстановки, и было получено разложение группы подстановок на смежные классы. В XIX в. глубокие связи между свойствами группы подстановок и свойствами уравнений были указаны Н.Абелем в 1824 г. и Э. Галуа в 1830 г. Особенно нужно отметить достиженияЭ.Галуав теории групп. Он открыл роль нормальных подгрупп в решении задачи о разрешимости уравнений в радикалах, установил простоту знакопеременных групп степени выше четырех. К. Жорданв 1870 г.систематизировал и развил исследования в этом направлении в трактате о группе подстановок. В проективной геометрии группы возникают, когда изучается поведение фигур при различных преобразованиях, что перешло на изучение самих преобразований и поиск их классификации. Здесь можно назвать имена А. Мебиуса, исследовавшего элементарные виды родства геометрических фигур, А. Кэли, пришедшего к пониманию группы как системы, заданной порождающими элементами и соотношениями, Ф. Клейна – создателя в 1872 г. «Эрлангенской программы», положившей в основу классификации геометрий понятие группы преобразований. Теоретико-групповые идеи прослеживаются и в теории чисел. Л. Эйлер в 1761 г. при изучении «вычетов, остающихся при делении степеней» пользовался сравнениями и разбиениями на классы вычетов, т. е. на смежные классы по подгруппе. К. Гаусс в 1801 г. в «Арифметических исследованиях» определил подгруппы группы Галуа уравнения деления круга и при изучении «композиции двоичных квадратичных форм» доказал, что классы эквивалентных форм образуют относительно композиции конечную абелеву группу.
В конце 19 в. выработалось современное абстрактное понятие группы. В 1895г. С. Ли уже определял группу как совокупность преобразований, замкнутую относительно операции, которая ассоциативна и гарантирует единицу и обратные элементы.
Изучение групп без предположения их конечности и без предположе-ний о природе элементов оформилось в самостоятельную область математики в 1916 г. в книге «Абстрактная теория групп» нашего соотечественника О.Ю. Шмидта.
В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющей многочисленные приложения, как в самой математике, так и за ее пределами — в топологии, теории функций, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и естествознания.
Курсовая работа посвящена изучению групп гомоморфизмов абелевых групп и состоит из двух разделов.
В первом разделе приводятся основные понятия и определения теории групп.
Во втором разделе приводятся основные сведения о гомоморфизмах групп.

4. Примеры групп гомоморфизмов абелевых групп.

Рассмотрим абелевы группыZn и Zm. Найдем все гомоморфизмы из Zn в Zm. Пусть f : Zn Zm гомоморфизм.
Рассмотрим любой образующий элемент в циклической группе Zn, напри-мер, 1. Имеем, f(1) t Zm.
Тогда по свойству гомоморфизмов f(k) kf(1) ktдля любого k Zn.
Поэтому для задания гомоморфизмаf достаточно указать образ 1.
Так как порядок 1 в Znравен n, то тогда f(1)делит n.
Но тогда имеем .
Таким образом, если f :Zn Zm – гомоморфизм и f(1) t, то делит n.Условие t - делитель n является достаточным для того, чтобы отображение f : Zn Zm, заданное правилом f(k) kt, было определено корректно и являлось гомоморфизмом. Действительно, если k s, то nделит (k s). Так как tделит n, то tделит (k s).
Тогда имеем (k s)t 0 и, следовательно, f(k) f(s).
Поэтому отображение определено корректно.
Так как f(k1 k2) f(k1 k2) (k1 k2)t k1t k2t f(k1) f(k2), то f является гомоморфизмом.
Например, найдем все гомоморфизмы из Z3 в Z36.
Согласно сказанному выше, если f(1) t, то делит 3.
Поэтому (36, t) 36 или (36, t) 12, где 0 t 35.
Следовательно, t {0, 12, 24}. Таким образом, существует всего 3 гомо-морфизма из Z3 в Z36: f1, f2 и f3, гдеf1 0, f2(0) 0, f2(1) 12,
f2(2) 24, f3(0) 0, f3(1) 24, f2(2) 12.
Рассмотрим теперьабелеву группу R всех вещественных чиселс операцией сложения и абелеву группу Rвсех положительных чисел с операцией ум-ножения. Пусть f -гомоморфизм, . Тогда для всех выполняется равенство .
Очевидно, что последнему равенству удовлетворяют функции , где a– положительное число. Множество всех гомоморфизмов , определенных следующим образом образует группу. Очевидно, что эта группа изоморфна группе R.