Дифференциальные уравнения и возможности их использования в экономике

Оглавление
Введение 3
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка 4
1.1. Пример определения издержек производства 6
1.2 Модель естественного роста выпуска продукции 7
1.3. Пример уравнения макроэкономической динамики системы «цена-инфляция» 9
1.4. Модель воспроизводства национального дохода 11
1.5. Основное уравнение модели экономического роста Солоу 12
2. Дифференциальные уравнения высших порядков 16
2.1. Пример модели спроса и предложения 17
2.2. Пример инфляционной модели 19
2.3. Пример экономической стабилизации по Филлипсу 21
3. Системы линейных дифференциальных уравнений 23
3.1. Межотраслевая модель замкнутой производственной системы 25
3.2. Модель динамики долга 27
Заключение 28
Список литературы 30

Введение
Проникновение математики как науки в различные отрасли производства является стимулом для качественного переосмысливания процессов и методов ведения народного хозяйства. Экономическая наука, описывающая процессы развития общества, не только широко использует математические методы, но предлагает новые направления развития математических моделей.
Основой организации и управления производством являются математические модели [1]. Среди наиболее важных инструментов математики в применении к экономике следует выделить дифференциальный уравнения, с помощью которых моделируются такие процессы, как: проблемы инфляции, государственный долг, проблемы безработицы, а также динамика цен и др.
Особое значение дифференциальные уравнения имеют для моделирования динамических характеристик экономических закономерностей. Так подробный статистический анализ позволяет рассмотреть аспекты экономической проблемы с интегральной точки зрения. Иными словами, частности при таком подходе опускаются. Дифференциальный анализ, наоборот, раскрывает такие характеристики рассматриваемой модели, которые недоступны для традиционных статистических методов.
Курсовая работа имеет двойную направленность. С одной стороны, нельзя обойтись без детального рассмотрения математического аппарата, применяемого для построения экономических моделей. С другой стороны, слишком углубленный анализ математических тонкостей не позволит рассмотреть экономическую суть проблемы. С этой точки зрения, все рассматриваемые в работе примеры применения дифференциальных уравнений к экономической теории приводятся без скрупулезной доказательной базы. Стремление привести как можно больше примеров и моделей, обуславливает некоторую математическую сдержанность.
Актуальность данной работы обусловлена широким проникновением математики во все области народного хозяйства. Экономические модели нуждаются в строгой математической теории.
Математически аппарат в экономике стал широко применяться, начиная с конца XIX века. Работы таких ученых как Джон Кейнс, Роберт Солоу, модели Эванса и Леонтьева служат классическими примерами применения строго математического аппарата к экономической теории.
Объектом исследования являются дифференциальные уравнения и математические модели, построенные на основе обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.
Целью работы является овладение навыками решения обыкновенных дифференциальных и анализ ряда экономических моделей. Задачей работы является приобретение определенных компетенций, позволяющих экономисту быстро ориентироваться в современной литературе, посвященной проблемам применения математических моделей в области экономического моделирования, а также приобретения практических навыков для осуществления реального моделирования сложных экономических систем.

Заключение
В работе были рассмотрены современные экономико-математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями или системой дифференциальных уравнений.
Подводя итого по задачам, поставленным во введении, работа содержит множество практических примеров использования аппарат дифференциальных уравнений для решения реальных экономических задач. В частности, составлены и решены следующие уравнения, моделирующие:
• Модель естественного роста выпуска продукции,
• Модель воспроизводства национального дохода,
• Модель спроса и предложения,
• Инфляционную модель,
• Отраслевую модель производственной системы,
• Модель динамики долга и др.
Большое значение придавалось экономическому смыслу полученного решения. Все рассмотренные модели являются образцом применения математического аппарата к экономической теории. Математический аппарат позволяет не только проанализировать различные аспекты рассматриваемых явлений и процессов, но и прогнозировать события в краткосрочной и долгосрочной перспективе.
Аппарат дифференциальных уравнений является мощным и универсальным средством изучения и анализа физических и экономических процессов. Далеко не всегда получающиеся уравнения имеют точное решение. В ряде случает, представляющих практический интерес, для решения уравнения или системы уравнений прибегают к методам численного интегрирования. В тех случаях, когда удается получить точное решение задачи, получаются результаты, представляющие для экономики фундаментальное значение.
Большое значение имеет также анализ получившегося решения дифференциального уравнения. Приведенные в работе примеры, демонстрируют предельные случаи, например, при времени наблюдения, стремящемся к бесконечности. Эти предельные случаи дают представление о динамике экономического процесса.
За пределами работы остались вопросы устойчивости макроэкономических систем. Эти вопросы позволяют ответить на важные экономические вопросы, например, найти точку равновесия в модели экономического роста. Задачи теории устойчивости особенно важны для моделей переходной экономики, так дают ответ на вопрос о равновесности той или иной экономической системы.