Двойные интегралы

СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 5
1.1. Двойной интеграл – основные понятия и определения 5
1.2. Геометрический смысл двойного интеграла 6
1.3. Физический смысл двойного интеграла 7
1.4. Простейшие свойства двойного интеграла 8
ГЛАВА 2. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 8
2.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах 8
2.2. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай) 14
2.3. Переход к полярным координатам в двойном интеграле 16
ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 19
3.1. Геометрические приложения двойного интеграла 19
3.2. Физические приложения двойного интеграла 20
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 22
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 23

Понятие интеграла пронизывает всю современную математику. И не только это - в науках физического и технического циклов находят применение различные вариации интеграла. Стоит раскрыть любую книгу, относится к точным наукам, как встретится знак интеграла и предложения, включая слово «интеграл». Более того, в последнее время вошли в обиход такие термины, как, например, «интегральная схема», «экономическая интеграция», которые прямого отношения к интеграла не имеют, но смысловую нагрузку сохраняют и находят широкое распространение в литературе и разговорной речи.
В сокровищнице науки и культуры есть идеи, которые, возникнув в глубокой древности развиваясь и совершенствуясь, прошли черев все последующие времена и успешно служат человечеству сейчас. К ним, безусловно следует отнести идею интеграла в математике.
Начала интегральных методов прослеживаются в трудах Архимеда, пользовался ими при решении многих геометрических задач и доказательстве теорем. В книгах по истории математики соответствующие разделы так и называются - «Интегральные методы Архимеда». И в этом нет никакого преувеличения, хотя открытие интегрального исчисления, время, когда впервые било произнесено слово «интеграл», отделяют от работ Архимеда огромный временной интервал в 2000 лет. Для перехода от методов Архимеда алгоритму интегрального исчисления, применимого к обширному классу задач, математика должна была пройти долгий путь, на котором была создана буквенно символика, построено учение о функциональных зависимости, разработанный аналитический аппарат для их выражения. На этом пути к работам Архимеда обращались дважды: в арабском средневековом Востоке и в Европе XVI-XVII вв. Но все попытки значительно продвинуться вперед заканчивались неудачей. Только создание буквенного исчисления Внетом и аналитической геометрии Декартом и Ферма, а также успехи физических наук Нового времени обеспечили возможность разработки анализа бесконечно малых. Роль Архимеда в этом процессе Лейбниц охарактеризовал словами: «Внимательно читая произведения Архимеда, перестаешь удивляться всех новейших исследований геометров».
Совершенствование методов Архимеда и создание интегрального исчисления, его развитие осуществлялись в работах Кеплера, Кавальери, Торричелли. Паскаля, Ферма, Валлиса, Роберваля, Барроу, Ньютона, Лейбница, братьев Якоба и Иоганна Бернулли (И.Бернулли принадлежит термин «интегральное исчисление», он первый прочитал, курс лекций по интегрального исчисления для маркиза Лоппиталя), Эйлера, Коши, Римана.
В определенный период своего развития математика подошла к такому рубежу, когда назрела необходимость решения насущных задач, связанных с фундаментальными открытиями. Одними и теми же задачами занимались часто многие математики, и установить приоритет, указать, кто первый сделал то или иное открытие, затруднительно.

Целью работы стало определение двойного интеграла, изучение способов сведения к повторному, определить роль параметрического задания функций и полярных координат в нахождении двойных интегралов.
Поэтому задачами, соответственно стали:
- дать основные понятия и определения свойств двойного интеграла;
- изучить методы вычисления двойного интеграла$
- описать осовные этапы применения двойного интеграла.