Тригонометрические функции от обратных тригонометрических функций

Введение 3
Глава 1 Теоретические основы тригонометрии 5
1.1. Основные тригонометрические функции и их свойства 5
1.2 Обратные тригонометрические функции 12
Глава 2 Тригонометрические функции от обратных тригонометрических функций 18
2.1 Основные формулы, выражающие зависимость тригонометрических функций от обратных тригонометрических функций 18
2.2 Применение формул нахождения значений тригонометрических функций от обратных тригонометрических функций 25
Заключение 27
Список использованной литературы 28

11. Яковлев И.В. Введение в аркфункции [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://mathus.ru/math/arcfun.pdf (Дата обращения: 01.06.2018).
...

1.1. Основные тригонометрические функции и их свойства

Определение 1.1.1. Повернем начальный радиус на угол  рад, получим на окружности точку (рис. 1), тогда ордината этой точки называется синусом угла , а абсцисса – косинусом угла  [7, с. 6, 8].

Рисунок 1 – Изображение синуса и косинуса угла  на числовой окружности

Определение 1.1.2. Тангенсом угла  называется отношение ординаты точки к ее абсциссе, то есть (1). Котангенсом угла  называется отношение абсциссы точки к ее ординате, то есть (2) (рис.2) [9, с. 4].

Рисунок 2 – Изображение тангенса и котангенса угла 
Поскольку любому числу на окружности соответствует единственная точка и, следовательно, единственное значение , значит можно рассматривать функции , которые называют тригонометрическими.
(3) – основное тригонометрическое тождество.
...

1.2 Обратные тригонометрические функции

Функция обратима, если обратное соответствие является тоже функцией.
Теорема 1.2.1. Необходимое и достаточное условие обратимости
Функция обратима тогда и только тогда, когда каждое свое значение она принимает только один раз.
Всякая монотонная функция обратима. Монотонность для обратимости является достаточным условием, но не необходимым.
Характер монотонности у взаимно обратных функций одинаковый: если , то , и наоборот, если , то .
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у = х.
Определение 1.2.1. Функции и называются взаимно обратными, если [2, с. 20].
Все тригонометрические функции в своей области определения не обратимы, так как они периодические.
Функция в своей области определения необратима. Выделим промежуток, на котором она будет обратима, на нем она должнна быть монотонной (рис. 6).

Рисунок 6 – Функции и

Таблица 1 – Свойства функций и на

1.
2.
3. Возрастает
4.

5. Нечетная
1.
2.

2.1 Основные формулы, выражающие зависимость тригонометрических функций от обратных тригонометрических функций

В системе координат построим единичную окружность и оси тангенса и котангенса (рис. 10).

Рисунок 10 – Единичная окружность с осями тангенса и котангенса

Выберем произвольное число и построим параллельную оси ординат направленную полухорду тригонометрической окружности длины х. Если , то полухорда лежит выше оси (этот случай изображен на рис. 10); если , то полухорда лежит ниже оси . Отсчет ведется вдоль оси . Возможно построить две такие полухорды – направленные отрезки и . При полухорды совпадают. Их концы В и В определяют углы и . Множество S всех углов на рис. 10, которые определяются точками В и В и синусы которых равны х, задается формулой [1, с. 26].
Пусть  - радианная мера ,  - радианная мера .
...

2.2 Применение формул нахождения значений тригонометрических функций от обратных тригонометрических функций

Рассмотренные в п.2.1. формулы в основном встречаются на вступительных экзаменах в вузы. Приведем с решением примеры типовых заданий на применение данных формул.
Пример 1. (МГУ геолог., 1998, устный) Вычислить [10, с. 109].
Решение
Воспользуемся формулой (5).

Ответ:
Пример 2. (МГУ геолог., 2000, устный) Является ли число рациональным числом? [10, с. 109]
Решение
Для нахождения числа воспользуемся формулой (6):

Так как - число иррациональное, то данное число не является иррациональным.
Ответ: нет
Пример 3. (ВМК, 2000, 2003, устный) Вычислить [10, с. 109].
Решение
Для вычисления значения данного выражения воспользуемся формулой синуса и косинуса двойного аргумента, а затем формулами (13) и (14):

Ответ:
Пример 4. Вычислить [3, с. 68].
...

Заключение

Обратные тригонометрические функции (другое название арк-функции, или аркус-функции) – самые малоизученные функции. Однако они представляют важную часть тригонометрии и помогают решать богатый спектр заданий.
Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arcus – дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку.
Иногда их называют круговыми функциями, поскольку смысл этих функций раскрывается через геометрическую интерпретацию на единичном круге (однако правильнее говорить на единичной окружности).
Для того, чтобы решать задачи на вычисления, связанные с обратными тригонометрическими функциями, достаточно хорошо знать определения аркфункций и основные тригонометрические формулы.
...