Конструкция фактормногообразия относительно действия группы

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 4
2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 5
2.1. Понятия 5
2.2. Примеры 5
2.3. Действие группы 7
3. ФАКТОРЫ 9
4. ФАКТОРЫ АФФИНЫХ МНОГООБРАЗИЙ 10
5. ФАКТОРЫ ПРОЕКТИВНЫХ МНОГООБРАЗИЙ 14
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 16
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 17

2 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
2.1 Понятия
Алгебраическая группа определяется как многообразие , снабженное регулярными отображениями

,
удовлетворяющими обычным свойствам умножения и обратного в группе (например, существует точка , для которой и для всех ). Аналогично, морфизм алгебраических групп – регулярное отображение , которое одновременно является гомоморфизмом групп.
В качестве основных примеров можно привести следующие классические группы.
2.2 Примеры групп
Пример 1. Полная линейная группа
Множество обратимы матриц размера – это просто дополнение в линейном пространстве всех -матриц к гиперповерхности, заданной условием равенства нуля определителя; стало быть это – специальное открытое подмножество в и, тем самым, так же аффинное многообразие. Очевидно, что отображение умножения
регулярно, следует из правила Крамера: для обратимой -матрицы имеем
,
где – матрица, полученная из вычеркиванием j-ой строки и i-го столбца.
...

2.3 Действие группы
Действием группы на алгебраическом многообразии называют регулярное отображение
,
удовлетворяющее обычному условию .
Проективным действием на многообразии мы будем называть действие на , при котором для всех . Если, более того, действие на , говорят, что действие на линейно.
Пример 1. действует на
Очевидно, самым общим в этой теории является действие группы на . Следует отметить, что это действие нелинейно. С другой стороны, если – образ при отображении Веронезе степени , то действие на проективно, причем это действие будет линейно тогда и только тогда, когда делит [2].
На самом деле есть вся группа автоморфизмов .
Классическое утверждение о действии на .
Для любых двух наборов , из точек общего положения в (т.е. таких, что никакая точка не лежит в гиперплоскости) существует и единствен элемент , переводящий в для всех .
Пример 2. действует на
Предположим, что равно 0 или больше .
...

5 ФАКТОРЫ ПРОЕКТИВНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
Точно так же, как фактор аффинного многообразия по действию конечной группы всегда существует и является аффинным многообразием, фактор проективного многообразия по конечной группе всегда существует и является проективным многообразием.
Любое действие конечной группы на проективном многообразии можно сделать проективным, то есть можно так вложить в проективное пространство , что будет действовать на , сохраняя . Нужно только вложить первоначальное проективное многообразие в произведение проективных пространств , занумерованных элементами группы , при помощи отображения, -я компонента которого – композиция автоморфизма , соответствующего элементу , и вложения в . Теперь действие на получается ограничением на действия на перестановками сомножителей. После вложения в проективное пространство размерности с помощью отображения Сегре это действие станет проективным.
...