Применение понятия производной в экономике

Введение 3
Предельные издержки 4
Эластичность функции 8
Экономический смысл выпуклости функции 12
Заключение 15
Список источников и литературы 16

...нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира...”
Лобачевского Н.И.

Часто говорят, что цифры управляют миром; по крайней мере, нет сомнения в том, что цифры показывают, как он управляется.
И. Гете

Современная экономическая наука широко использует математику в качестве методологической основы, общенаучного языка и важнейшего инструмента познания. Математические методы в единстве с экономическим анализом открывают новые возможности для экономической науки и практики.

Предельные издержки
При изучении экономических процессов выполняется расчет средних и предельных значений функций, выражающих зависимости между различными экономическими факторами.
Средняя величина показателя вычисляется как отношение значения определяющей его функции к соответствующему значению аргумента. Например, пусть функция выражает зависимость издержек производства y от объема выпускаемой продукции x. Тогда функция средних издержек на единицу продукции определяется по формуле
.
Для обозначения средних величин к обычному обозначению величин добавляется буква А.
Под предельным (маржинальным) значением показателя в экономическом анализе принято понимать производную функции этого показателя (если эта функция непрерывна). Так, в нашем примере предельные издержки производства
.
Для обозначения предельных величин к обычному обозначению добавляется буква М.
...

Эластичность функции
 Отношение   называется темпом прироста функции y. Отношение  называется мгновенным темпом прироста.
Обычно степень влияния одной переменной на другую, зависимую от нее, измеряют производной данной функции. Однако часто экономистов интересуют относительные изменения величин. Например, если маленькое яблоко подорожало на 2,5 рубля, то при этом большое, скажем, на 5. В тоже время, если яблоки подорожали в 1,5 раза, то в 1,5 раза дороже стало и маленькое, и большое яблоко, и килограмм, и вагон яблок. Поэтому для анализа относительных изменений вместе с понятием производной используют понятие эластичности.

Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при ∆x → 0 , то есть

Экономический смысл эластичности − это процентное приращение величины показателя, обусловленное увеличением величины на 1%.
...

Экономический смысл выпуклости функции

Закон убывающей доходности: с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает.
Иными словами, величина , где - приращение ресурса, а - приращение выпуска продукции, уменьшается при увеличении . Таким образом, закон убывающей доходности формулируется так: функция , выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией выпуклой вверх.
Закон убывающей полезности: с ростом количества товара дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента убывает.
Функция полезности , где - товар, - полезность, есть величина субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная для общества в целом. Очевидно, закон убывающей полезности можно переформулировать так: функция полезности является функцией выпуклой вверх.

Пример 9.
...

Заключение

Дифференциальное исчисление получило широкое применение как математический аппарат для экономического анализа и его развития в экономике.
Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления.
В экономике часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателей: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, минимальные издержки и т.д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.
...