Исследование тригонометрических функций

Содержание

1 План исследования тригонометрических функций………………………….2

2 Исследование тригонометрических функций………………………………..6
2.1 Функция синус……………………………………………………………….6
2.2 Функция косинус…………………………………………………………….8
2.3 Функция тангенс……………………………………………………………..10
2.4 Функция котангенс…………………………………………………………..13

Список литературы………………………………………………………………16

2.1 Функция синус
Рассмотрим функцию: y = sin x
Исследование функции:
1) Область определения D (x) = R
2) Область значений E (y) = [-1; 1]
3) Функция нечётная sin (-x) = - sin x
4) Функция не является монотонной на всей своей области определения;
5) Функция периодична с периодом T = 2 π
Сначала необходимо построить график функции y = sin x . Для построения первоначально изобразим области, которые ограничивают график сверху значением 1 и снизу значением  - 1, что является рамками области значений функции.
Дополнительно, при построении важно знать значения синусов ряда главных табличных углов:
sin 0 = 0, sin π/2;
sin π = 0;
sin ( - π/2) = - 1,
sin ( - π) = 0.
  Данные значения помогут изобразить первую полную «волну» графика, а далее, достраивать ее вправо и влево, опираясь на то, что общее изображение будет повторяться со смещением на период, то есть на 2 π .

Рисунок 1. График функции y = sin x
Задача на преобразование графиков функций.
Пример.
...

2.2 Функция косинус
Рассмотрим функцию:
Исследование функции:
1) Область определения ;
2) Область значений ;
3) Функция четная   Из этого следует симметричность графика функции относительно оси ординат;
4) Функция не является монотонной на всей своей области определения;
5) Функция периодична с периодом .
Изобразим график функции  . Целесообразно начинать с изображения области, которая ограничивает график сверху значением 1 снизу
 -1, что определено областью значений функции. В том числе, нанесём на график координаты нескольких точек, для чего необходимо помнить значения косинусов нескольких основных табличных углов, например, что 

  С помощью этих точек мы можем построить первую полную «волну» графика и потом перерисовывать ее вправо и влево, пользуясь тем, что картинка будет повторяться со смещением на период, то есть на  .

Рисунок 3. График функции y = cos x

Пример.
...

2.3 Функция тангенс
Функция
Исследование функции:
1) Область определения   D(x) = R, где x = π/2 + π n,
2) Область значений , т.е. значения тангенса не ограничены;
3) Функция нечётная ;
4) Функция монотонно возрастает в пределах своих так называемых веток тангенса, которые мы сейчас увидим на рисунке;
5) Функция периодична с периодом T=п
 
Изобразим график функции  Целесообразно первоначально отобразить вертикальные асимптоты графика в точках, которые не являются областью определения, то есть   Далее изображаем ветки тангенса внутри каждой из образованных асимптотами полосок, прижимая их к левой асимптоте и к правой. При этом не забываем, что каждая ветка монотонно возрастает. Все ветки изображаем одинаково, т.к. функция имеет период, равный  π . Это видно по тому, что каждая ветка получается смещением соседней на   вдоль оси абсцисс.

Рисунок 5.
...

2.4 Функция котангенс
Функция y = ctg x:
Исследование функции: 
1) Область определения   кроме , где  . По таблице значений тригонометрических функций мы уже знаем, что   не существует. Это утверждение можно обобщить, учитывая период котангенса;
2) Область значений  , т.е. значения котангенса не ограничены;
3) Функция нечётная ;
4) Функция монотонно убывает в пределах своих веток, которые похожи на ветки тангенса;
5) Функция периодична с периодом 
 
Построим график функции  . При этом, как и для тангенса, удобно начинать построение с изображения вертикальных асимптот графика в точках, которые не входят в область определения, т.е.   и т.д. Далее изображаем ветки котангенса внутри каждой из образованных асимптотами полосок, прижимая их к левой асимптоте и к правой. В этом случае учитываем, что каждая ветка монотонно убывает. Все ветки аналогично тангенсу изображаем одинаково, т.к.
...