Непротиворечивость евклидовой геометрии

Введение 3
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 9
ЛИТЕРАТУРА 9

Рождение и формирование основных понятий геометрии уходят корнями в период до нашей эры. На том историческом этапе геометрия была частью науки естествознания, являвшейся своеобразной универсальной наукой о «природе вещей», изучавшей, в том числе, философию, физику, астрономию [1]. Выводы ученых того времени основывались на умозрительных заключениях. При этом, если наблюдая одни и те же природные явления, различные философы делали противоположные выводы, например, в области физики, то в области геометрии такого не было. Мнения относительно базовых понятий геометрии и планиметрии (точка, прямая, плоскость) во многом совпадали, как совпадают и сейчас. Система аксиом Евклида построена на этих понятиях. При этом на разных этапах развития науки возникал вопрос о непротиворечивости этих аксиом.

С древних времен, еще до нашей эры, основные понятия геометрии представлялись философами того времени (Анаксагор, Фалес, Пифагор, Гиппократ и др.) на интуитивном уровне. Определения и аксиомы геометрии также изучали Платон и Аристотель, и хотя их труды по геометрии до нас не дошли, считается, что именно они легли в основу трудов Евклида по систематизации в III веке до н. э. накопленных к тому времени геометрических определений.
Евклид, как и его предшественники, следующие интуиции, в своих «Началах» изложил систему аксиом, основанных на интуиции и логических выводах, без подтверждающих теорию чертежей.

В частности, Евклид использовал без доказательства то, что две окружности с центрами на расстоянии их радиуса пересекаются в двух точках.

Евклид внес колоссальный вклад в систематизацию понятий геометрии. Существуют, также, неевклидовы системы аксиом. Непротиворечивость является одним из требований к любой системе аксиом наравне с требованиями полноты и независимости. В данной работе приведен пример доказательства непротиворечивости системы аксиом на основе доказательства непротиворечивости аксиом арифметики.