Применение дифференциального исчисления к исследованию геометрических объектов

Содержание:
Введение…………………………………………………………………………2
1 Касательная к плоской кривой в прямоугольных координатах…………..2
1.1. Примеры…………………………………………………………………..4
2 Касательная в полярных координатах………………………………………8
2.1 Примеры……………………………………………………………………10
Заключение……………………………………………………………………..12
Список литературы…………………………………………………………… 13

1. Касательная к плоской кривой в прямоугольных координатах.
Кривая, заданная явным уравнением У=f(х),
где f — непрерывная функция c непрерывной производной, в каждой своей точке (х,у)
имеет касательную, угловой коэффициент которой tg α выражается формулой:
tg α=y′X=f′(x).
Таким образом, уравнение касательной имеет вид:
Y-y= y′X(X-x).(1)
Здесь (как и ниже) X, Y означают текущие координаты, а х, у — координаты точки касания.
Легко получить и уравнения нормали, т. е. прямой, проходящей через точку касания перпендикулярно к касательной:
Y-y=-(X-x) или X-x+ y′X(Y-y)=0 (2)
В связи с касательной и нормалью рассматривают некоторые отрезки — именно, отрезки ТМ и MN и их проекции ТР и PN на ось х (рис.1).

Рис.1.
Последние называются, соответственно, подкасательной и поднормалью и обозначаются через sbt (subtangens) и sbn (subnormal). Полагая в уравнениях (1) и (2) Y = 0, легко вычислить, что
Sbt==ТР=, sbn=PN=y.
...

2. Касательная в полярных координатах.
Если кривая задана полярным уравнением r = f(θ), то, переходя обычным образом к прямоугольным координатам, получаем параметрическое представление кривой в виде
x=r cos θ=f(θ)cos θ,
y=r sin θ=f(θ) sin θ,
причем роль параметра здесь играет θ.
В таком случае, по общей формуле (6),
tgα==
Однако, если кривая исследуется в полярных координатах, обычно положение касательной определяют не углом а с полярной осью, а углом ω с продолженным радиус-вектором.

Рис.7.
Мы имеем простую формулу :
tgω= (8)
Вместо отрезков t, n, sbt, sbn, рассматривают другие отрезки. Проведя через полюс О ось, перпендикулярную к радиусу-вектору (эта ось вращается
при перемещении точки), продолжают касательную и нормаль до пересечения с ней, соответственно, в точках Т и N. Тогда отрезки ТМ и MN называются полярными отрезками касательной и нормали, а их проекции ТО и ON на упомянутую ось — полярными подкасательной и поднормалью.
...