Различные приложения формулы Тейлора

ВВЕДЕНИЕ 3
Глава 1. Формула Тейлора функции одной переменной 5
1.1 Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом Rn в форме Лагранжа 5
1.2 Остаточный член в форме Пеано 9
1.3 Другие формы остатка в формуле Тейлора 13
1.4 Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора 15
1.5 Формула Тейлора для четных и нечетных функций 18
1.6 Другой вывод формулы Тейлора 20
Глава 2. Формула Тейлора функции нескольких переменных 23
Глава 3. Практическая часть 26
3.1 Задачи, решенные самостоятельно 26
3.2 Элективный курс «Формула Тейлора» для студентов среднего профессионального образования 48
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 53
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 54

1.1 Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом Rn в форме Лагранжа
Разберем степенной ряд , у которого интервал сходимости , тогда сумма степенного ряда определена для всех и можно записать равенство .
Свойство 1. Степенной ряд сходится абсолютно в любом промежутке , лежащем в интервале сходимости, причём сумма степенного ряда является непрерывной функцией при всех .
Свойство 2. Если отрезок , то степенной ряд можно почленно интегрировать от a до b, т.е. если
, то
.
При этом радиус сходимости не меняется:

где − коэффициенты проинтегрированного ряда.
Свойство 3. Сумма степенного ряда есть функция, имеющая внутри интервала сходимости производные любого порядка. Производные от суммы степенного ряда будут суммами рядов, полученных из данного степенного ряда почленным дифференцированием соответствующее число раз, причём радиусы сходимости таких рядов будут те же, что и у исходного ряда.
Если , то

и т.д.
...

1.2 Остаточный член в форме Пеано

Величина остаточного члена формулы Тейлора играет большую роль при оценке точности приближения заданной функции многочленом Тейлора. Рассмотрим виды остаточных членов:
1) Остаточный член в форме Пеано. Преобразуем остаточный член формулы Тейлора, используя некоторые понятия из теории пределов.
а) Функция называется бесконечно малой при , если .
б) Бесконечно малая функция называется бесконечно малой более высокого порядка малости относительно бесконечно малой функции при , если существует и записывается следующим образом: (что читается так: «β есть о малое от α).
Разберем формулу Тейлора для функции по степеням порядка n: . Остаточный член в формуле Тейлора выглядит так: . Из построения многочлена Тейлора следует Тогда откуда остаточный член формулы Тейлора можно записать в виде: , т.е. величина остаточного члена есть бесконечно малая более высокого порядка малости относительно при .
...

1.3 Другие формы остатка в формуле Тейлора

Предположим, что функция f (x) (n+1)-раз дифференцируема в окрестности Ua (x0) = (x0-a,x0+a) и  (x) дифференцируема в , 0 в ,  (x) непрерывна в [5].
Возьмем x (x0-a,x0+a), xx0 и фиксируем. Для определенности будем считать x0
Отметим следующие свойства этой функции:

 (x) =0
 (x0) =Rn (x)

 (z) непрерывна на [x0,x], дифференцируема на (x0,x).

Не очевидным является только четвертое свойство:

===.

К функциям  и  применим теорему Коши о конечных приращениях на отрезке [x0,x]

Откуда

(1)

Следствие 1. Если функция f (n+1)-раз дифференцируема на (x0-a, x0+a), то

где  (x0,x) (или (x,x0)),p>0. Остаток Шлемильха-Роша.
Для доказательства этой формулы следует в качестве функции  (z) взять

 (z) = (x-z) p

Следствие 2. (Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа) Если f (n+1) -раз дифференцируема на (x0-a, x0+a), то

Получено из общей формулы при p = n + 1.
Замечание.
...

1.5 Формула Тейлора для четных и нечетных функций

Тео рема 1. Если функция f (x) четна и существует f (2n+1) (0), то  имеет место  следующее разло жение это й функции [8]

Если функция f (x) нечетна и существует f (2n+2) (0), то  имеет место  следующее разло жение это й функции

Тео рема 2. Если функция f (x) четна и существует f (2n+2) (x) в неко то ро й о крестно сти U (0), то  для xU (0) справедливо  равенство  [9]

где  (0,x) или  (x,0).
Если функция f (x) нечетна и существует f (2n+3) (x) в неко то ро й о крестно сти U (0), то  для xU (0) справедливо  равенство 

где  (0,x) или  (x,0).
До казательство . Как уже о тмечало сь ранее, у четно й функции все про изво дные нечетно го  по рядка являются нечетными функциями и, по это му, о ни равны нулю в то чке но ль
f (2k+1) (0) = 0, если f (x) четна.10
Отсюда и по лучаются указанные фо рмулы, если испо льзо вать мно го член Тейло ра до  по рядка 2n+1 включительно .
...

1.6 Другой вывод формулы Тейлора

Тео рема 1. Пусть функция о пределена на неко то ро м интервале, со держащем то чку , имеет . То гда при справедлива фо рмула
(1)
До казательство . Рассмо трим сначала случай . Пусть функция дифференцируема в то чке . Это  о значает, что  ее приращение в то чке имеет вид:

.
Таким о бразо м, мо жно  видеть, что  существует линейная функция
такая, что ,
причем =.
Пусть теперь функцияимеет. Выясним, существует ли мно го член степени, не прево схо дящей , тако й, что 
,
причем до лжен удо влетво рятьусло виям:
.(2)
Будем искать это т мно го член в виде:
.(3)
Из усло вия (2) , по это му заключаем, что  . Затем, дифференцируя мно го член раз, по лучим, что 

По дставляя значения в фо рмулу (3), по лучим:
. (4)
Отметим, что  удо влетво ряет (2) по  по стро ению. Обо значим
. (5)
Со гласно  усло вию (2),=0.
То гда по  правилу Ло питаля (примененно го  раз):
.
...

3.1 Задачи, решенные самостоятельно
Задача 1.

Задача 2.
.
Задача 3. Разло жить функцию f (x) = по  фо рмуле Тейло ра с о статко м Пиано  по  степеням x до  x5 включительно .
. Для решения задачи во зьмем разло жения функции

Задача 4. Разло жить функцию f (x) =1/cos x по  фо рмуле Тейло ра с о статко м Пиано  по  степеням x до  x5 включительно . Представим функцию в виде

нас интересуют то лько  слагаемые степеней не выше x5, бо лее высо кие степени во йдут в o (x5). Откуда следует,
=,=,
=.
Выражение

Задача 5. Испо льзуя разло жение из предыдущего  примера, разло жить функцию f (x) = tg x по  фо рмуле Тейло ра с о статко м Пиано  по  степеням x до  x6 включительно .
tg x==
=
x+x2 (0) +x3+x4 (0) +x5+x6 (0) =
=
Задача 6. Разло жить функцию f (x) = (1+x)  - (1 - x)  по  фо рмуле Тейло ра с о статко м Пиано .

Откуда следует,

Следствие.
Задача 7. Испо льзуя следствие из предыдущего  примера, найти предел:
.
Имеем:
=|x|= sign x +o ().
Задача 8.
...

3.2 Элективный курс «Формула Тейлора» для студентов среднего профессионального образования
По яснительная записка
Учебный план
Лекции
Ко л-во  часо в
Практические занятия
Ко л-во  часо в
Интегриро вание асимпто тических разло жений. Асимпто тическая фо рмула Тейло ра. Осно вные разло жения. Тео рема единственно сти.
2
Фо рмулы Тейло ра. Мето д нео пределенных ко эффициенто в.
2

Примеры асимпто тических разло жений
2
Ко нечная фо рмула Тейло ра (фо рма Лагранжа). Сравнение и , x . Задачи приближения f(x) по лино мо м Тейло ра.
2
Прило жения фо рмулы Тейло ра (графики, пределы).
2
Оценки
2

Ряд Тейло ра. Ряды ОЭФ. Общее о пределение ряда. По стано вка задачи о б интегриро вании и дифференциро вании степенно го  ряда.
2
Примеры разло жений f(x) в степенно й ряд. Решение дифференциальных уравнений.
2
Абсо лютная схо димо сть ряда. Тео рема сравнения ряда с интеграло м. Оценки .
2

Функции двух переменных. Линии уро вня. Частные про изво дные. Дифференциал. Фо рмула Тейло ра.
...

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
К практическим применениям фо рмулы Тейло ра следует о тнести и то , что  фо рмула Тейло ра по казывает по ведение функции в о крестно сти неко то ро й то чки. Фо рмула Тейло ра функции о чень часто  испо льзуется при до казательстве тео рем в дифференциально м исчислении.
По нятие «Ряд Тейло ра» было  о бнаружено  шо тландским математико м Джеймсо м Грего ри и фо рмально  введено  английским математико м Бруко м Тейло ро м в 1715 г. Если ряд Тейло ра со средо то чен в но ле, то  то т ряд также называют рядо м Макло рина, названным в честь шо тландско го  математика Ко лина Макло рина, ко то рый сделал широ ко е применение это го  о со бо го  случая ряда Тейло ра в XVIII в. Это  – о бычная практика, что бы приблизить функцию при по мо щи ко нечно го  числа усло вий его  сериала Тейло ра.
Тео рема Тейло ра дает ко личественные о ценки на о шибке в это м приближении. Любо е ко нечно е число  перво начальных усло вий серии Тейло ра функции называют по лино мо м Тейло ра.
...