Формирование навыков решения логарифмических и показательных неравенств при обучении алгебре и началам математического анализа

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ ........................................................ 2

ГЛАВА 1 ИСТОРИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 4

1.1 Исторический обзор возникновения логарифмов и лога-

рифмических неравенств ..................................................... 4

1.2 Задачи, приводящие к логарифмическим или показатель-

ным неравенствам............................................................... 6

1.3 Выводы по главе.......................................................... 8

ГЛАВА 2 ОРГАНИЗАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ 9

2.1 Логико-дидактический анализ ....................................... 9

2.2 Эволюция логарифмических и показательных неравенств

в экзаменах ....................................................................... 18 2.3 Выводы по главе.......................................................... 23

ГЛАВА 3
ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ
24
3.1
Структура мини-курса «логарифмические и показатель-


ные неравенства»................................................................ 24 3.2 Содержание занятий..................................................... 25 ЗАКЛЮЧЕНИЕ .................................................... 46 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ........................................... 47 ПРИЛОЖЕНИЕ .................................................... 49

1.1 Исторический обзор возникновения логарифмов и логарифмических неравенств

◦ программу русской общеобразовательной средней школы неравенства вошли до-вольно поздно и в весьма ограниченном объеме. Такое положение сохранилось до 1936 года, когда неравенства получили в программе советской школы полную самостоятель-ность и на их изучение было отведено достаточное количество часов. В статье [22] Крыжановский доказывает необходимость изучения неравенств в школе. Работы Кры-жановского положили начало методической разработки темы «неравенство». От мо-мента их появления стали появляется различные статьи в математических журналах. Одна из самых известных – статья Иванова Н.А. «О неравенствах высших степеней», опубликованная в [23]. Но ни о каких наработках связанных с логарифмическими и показетельными неравенствами пока речи не идет. «Логарифмы» и «неравенства» по-являлись независимо друг от друга.

Первые попытки вычислять логарифмы были предприняты ещё в античные време-на.
...

1.2 Задачи, приводящие к логарифмическим или показательным неравенствам

Простейшие показательные и логарифмические неравенства возникают и в смеж-ных с математикой отраслях, таких теория вероятностей, экономика, физика, химия, биология и астрономия. В свою очередь логарифмические и показательные неравенства содержащие различные рациональные и степенные функции были созданы искусствен-но.

Задача 1. Во время реакции распада радиоактивного изотопа его масса уменьша-ется по следующему закону: ( ) = 0 · 2− , где 0 — первоначальная масса изотопа, — время, которое прошло от начала распада, — период полураспада в минутах. В лабораторных условиях было получено вещество, содержащее 0 = 80 мг изотопа азот-13, период полураспада которого равен 10 минутам. В течение какого времени масса изотопа азот-13 будет не менее 20 мг?

• процессе решения данной задачи возникает показательное неравенство: 80 ·2− 10 >

20⇔2−10 >2−2⇔ <20

Ответ: в течение 20 минут

Задача 2.
...

2.1 Логико-дидактический анализ

Основная математическая идея изучения темы «логарифмические и показательные неравенства» заключается в формировании у школьников способов самостоятельного приобретения знаний и приёмов самообразования, в умении решать простейшие по-казательные и логарифмические неравенства на основе использования свойств степе-ней и логарифмов. Стоит отметить проблему, которая возникает при решении таких неравенств. Как правило у учащихся достаточно расплывчатое представление о методе интервалов (а решение многих неравенств сводится к решению рациональных нера-венств), поэтому прежде чем приступать к непосредственному решению логарифми-ческих и показательных неравенств первоначально стоит разобраться с обобщенным методом интервалов, достаточно хорошо изложенном в [19].

Для проведения логико-дидактического анализа темы «показателньые и логариф-мические неравенства» были взяты наиболее распространенные учебники:

1. Колмогоров А.Н.
...

2.2 Эволюция логарифмических и показательных неравенств в экзаменах

• экзаменами приходилось сталкиваться абсолютно каждому человеку на Земле. И достаточно часто ученики задают вопрос: «А как мне это пригодится в повседневной жизни?». И действительно, трудно себе представить, зачем решать логарифмические и показательные неравенства.

Приоритетом должна являться личность самого учащегося. Учитель может ориен-тироваться не на «математическое образование», а на образование с помощью матема-тики, на общеинтеллектуальное и общекультурное развитие человека, построенное на уважении к интересам, склонностям и способностям человека.

Чтобы разобраться на каком уровне в советское время требовалась уметь решать логарифмические и показательные неравенства мы обратились к журналам «Матема-тика в школе» и «Русская школа».
...