Сравнение алгоритмов поиска грубоошибочных измерений в геодезических сетях

Содержание
Список сокращений 5
Введение 6
Глава 1. Обзор методов отбраковки грубых ошибок 8
1.1. Общая классификация существующих подходов 8
1.2. Алгоритмы, существующие в рамках МНК 10
1.2.1. Уравнивание по МНК 10
1.2.2. Способ нормированных поправок 14
1.2.3. Способ, реализованный в GeoCAD 17
1.2.4. Метод наложения графиков поправок (МНГП) 18
1.3. Робастные методы 22
1.3.1. Постановка задачи. Модель «засорения» Тьюки-Хьюбера 23
1.3.2. Обзор существующих методов 26
1.3.2.1. М-оценки 26
1.3.3. Алгоритмы получения робастного решения 31
1.3.3.1. Нелинейная оптимизация 31
1.3.3.2. Алгоритм ВВКП 32
Выводы к главе 1 36
Глава 2. Практическая реализация методов отбраковки грубых ошибок 38
2.1. Общие сведения 38
2.2. Рабочая нивелирная сеть 41
2.2.1. Исходные данные и результаты уравнивания неискаженной сети 41
2.3.1. Результаты отбраковки для различных методов 42
2.4. Контрольная нивелирная сеть 57
Выводы к главе 2 59
Заключение 61
Библиографический список 63
Приложение 1 66
Приложение 2 67
Приложение 3 69
Приложение 4 70

Введение
Актуальность исследования. Поиск грубоошибочных измерений при уравнивании геодезических построений играет важную роль, так как метод наименьших квадратов, который используется для уравнивания, чувствителен к промахам, и в случае их наличия конечные результаты оказываются искаженными. Кроме того, современные способы съемки автоматизированы и нацелены на получение большого объема измерительной информации, обработку которой с целью обнаружения возможных ошибок и уравнивания, производят с использованием различных программных продуктов, реализующих тот или иной алгоритм поиска. Однако область поиска и устранения грубых ошибок изучена недостаточно; многие из алгоритмов отбраковки не реализованы в программах уравнивания; а существующие способы не всегда обеспечивают надежный результат.
Разработанность проблемы. Поиск грубоошибочных измерений в геодезических сетях является объектом интереса многих отечественных ученых. Среди них можно назвать В. А. Коугию, Г. В. Макарова, А. В.
...

1.1. Общая классификация существующих подходов
Проблема поиска грубых ошибок является актуальной, так как при их наличии есть риск получить некачественные результаты. В идеале все грубые ошибки необходимо исключить до уравнивания. Поэтому первыми способами для их отбраковки стали различные условные уравнения, составляемые для сети1: уравнение фигур; полюса и т.д. Но при современных способах съемки выявление грубых ошибок затруднительно осуществлять с помощью проверки условий.
Поэтому в настоящее время применяют методы отбраковки грубых ошибок по результатам уравнивания, основанные на анализе поправок. С их помощью можно найти меньшие по величине грубые ошибки, чем по невязкам [7]. Этот факт в сочетании с тем, что параметрический способ удобен для программирования, обеспечил успех статистических тестов, построенных на анализе поправок.
Но и у таких тестов есть некоторые недостатки: большинство из них ориентировано на последовательное нахождение по одной ошибке.
...

1.2.1. Уравнивание по МНК
Основная задача уравнивания имеет вид (формула 1):
(1)
где f – известные функции от неизвестных (оцениваемых) параметров;
l – результаты измерения;
x – оцениваемые параметры;
v – поправки в измерения.
Число неизвестных в таких системах (n+t) больше числа уравнений (n), поэтому их решение ищут статистическими методами, назначая значение неизвестных параметров так, чтобы вся совокупность поправок обладала бы какими-либо свойствами, т.е. решение задачи предполагает построение некоторой целевой функции ρ(v1,v2,…,vn). Наиболее часто выбирают целевую функцию МНК (формула 2):
(2)
где - вес измерения;
- поправка в измерение.
Выбор МНК объясняется, исходя из центральной предельной теоремы (ЦПТ) и решения по методу максимального правдоподобия (ММП).
...

1.2.2. Способ нормированных поправок
В рамках МНК наиболее популярен параметрический способ уравнивания. В этом случае для выявления грубых ошибок применяют способы, в которых анализируют поправки. Но МНК обладает свойством: в формировании поправки каждого измерения участвуют ошибки всех измерений. Это хорошо иллюстрируется уравнением, приведенном в [8] (формула 19):
(19)
где - вектор ошибок измерений6;
- матрица геометрии сети - отвечает за распределение ошибок измерений по поправкам.
Из (19) видно, что грубая ошибка не всегда соответствует тому измерению, для которого была получена максимальная поправка. Поэтому для надежного выявления ошибки необходимо использовать критерии, в которых тем или иным образом фигурировала бы матрица  , влияющая на формирование поправок.
Одним из таких методов является способ отбраковки по нормированным поправкам. Он был предложен W. Baarda [1] и получил дальнейшее развитие в [7].
...

1.2.3. Способ, реализованный в GeoCAD
Одним из способов, также задействующих матрицу G, является способ, изложенный в диссертации [5], который реализован в программном продукте GeoCAD.
При наличии грубой ошибки в одном измерении все поправки оказываются искаженными ее влиянием, которое определяется элементами соответствующего столбца матрицы G (формула 24):

где – элемент столбца матрицы G;
– грубая ошибка, допущенная в измерении;
– малая доля влияния от случайных ошибок других измерений.
В результате анализа (24) видно, что вектор поправок имеет тесную связь со столбцом матрицы G, соответствующим грубоошибочному измерению.
...