Анализ эффективности мультиплексирования трафика, оценка требуемой скорости линии концентрации нагрузки мультисервисного узла доступа и оценка максимально допустимого объёма поступающего трафика с использованием мультисервисной модели Эрланга

Период изготовления: май 2020 года.

Предмет: Математическое моделирование устройств и систем (Вариант №12).

Работа была успешно сдана - заказчик претензий не имел.

Общая формулировка задачи

Линия доступа, имеющая скорость C Мбит/с, обрабатывает два потока заявок на передачу видеотрафика. Для обслуживания заявки первого потока требуется скорость c1 Мбит/с, второго – c2 Мбит/с. Поступление заявок 1-го и 2-го потоков подчиняется закону Пуассона с интенсивностями λ1 и λ2 соответственно, а длительности занятия ресурса передачи информации имеют экспоненциальное распределение с параметрами μ1 и μ2 соответственно. Заявки, получившие отказ, теряются. Выполнить следующие задания, относящиеся к анализу введённой модели.

1. Определить параметры потоков число виртуальных каналов состояние и построить модель линии доступа, которая позволит учесть перечисленные особенности обслуживания заявок, а также рассчитать для каждого потока долю потерянных заявок и среднее использование ресурса передачи информации.

2. Используя лексикографическую нумерацию, разместить в таблице множество S возможных состояний процесса r(t), указав для каждого состояния число свободных и занятых единиц ресурса (виртуальных каналов), а также принадлежность состояния соответственно к подмножествам когда заявка 1-го или 2-го потока получает отказ в обслуживании, а также множеству , когда занято ровно виртуальных каналов.

3. На двумерной плоскости изобразить пространство состояний S и указать все переходы r(t) из состояния в состояние. Отметить состояния, когда заявки 1-го или 2-го потока получают отказ в обслуживании.

4. Составить систему уравнений равновесия r(t) и проверить для нескольких (3-4) уравнений наличие свойства мультипликативности у стационарных вероятностей состояний процесса.

5. Рассчитать для каждого потока значения доли потерянных заявок и средней величины ресурса линии занятой их обслуживанием, используя мультипликативное представление стационарных вероятностей.

6. Рассчитать с помощью рекурсивного алгоритма значения стационарных вероятностей числа совместно занятых единиц ресурса линии и значения характеристик обслуживания поступающих заявок. Рекурсия ведется по числу совместно занятых единиц ресурса Число каналов фиксировано и равно ;

7. Решить предыдущую задачу, используя рекурсию по числу каналов r. Величина r меняется от 0 до v.

8. Исследуемая модель находится в состоянии (1,1). Новые заявки не поступают. Найти среднее время до освобождения линии от обслуживания завок.

9. Оценка требуемого объема ресурса. Для рассматриваемой модели найти число каналов, при котором входящие потоки заявок будут обслуживаться с долей потерь заявок не большей 0,03.

10. Оценка объема ресурса, максимизирующего доход. Предположим, что создание и поддержка в рабочем состоянии единицы ресурса (пусть это будет 1 Мбит/c) стоит оператору 1 у.е./c в единицу времени. Аренда единицы ресурса владельцами мультимедийного контента приносит доход 3 у.е./c в единицу времени. Из данных маркетинговых исследований известны характеристики сервисов и объемы потенциального трафика, перечисленные ранее в общей постановке задачи. Определить интервал изменения скорости линии C, при котором оператор будет получать положительную прибыль, а также скорость линии C, при которой оператор получит максимальный доход от обслуживания предложенного трафика. Решить эту же задачу при наличии дополнительного ограничения на величину максимальных потерь заявок в виде: π < 0,03.

11. Анализ влияния передачи служебной информации на оценку объема ресурса. При использовании пакетных технологий наряду с полезной также приходится передавать и служебную информацию. В результате требование к ресурсу передачи возрастает. Обозначим через p увеличение потребности в ресурсе, выраженное в процентах. Рассчитать на сколько процентов возрастает величина максимальной скорости линии, при которой входящие потоки заявок будут обслуживаться с долей потерь заявок не большей 0,03, если p = 10%, 20%.

12. Оценка максимально допустимого объема трафика на заданном объеме ресурса. Предположим, что в исследуемой модели стали неизвестными величины потенциального числа соединений на предоставление имеющихся сервисов, но известно, что на одно потенциальное соединение на предоставление видео соединения 1-го типа приходится x2 соединений 2-го типа. Построить алгоритм оценки максимальных значений ak, k = 1, 2, при которых максимальная доля потерянных заявок будет менее π. Решить численно задачу, если x2 = 0,3 и π = 0,03.

13. Анализ использования мультиплексирования. Обозначим через среднее использование единицы канального ресурса линии. Рассмотрим процедуру мультиплексирования (объединения) потоков трафика и скорости передачи информации анализируемой линии связи. Мультиплексирование s подобных систем означает, что рассматривается линия со скоростью sC Мбит/с, с двумя потоками заявок на передачу видеотрафика. Для обслуживания заявки первого потока требуется скорость c1 Мбит/с, второго – c2 Мбит/с. Поступление заявок 1-го и 2-го потоков подчиняется закону Пуассона с интенсивностями sλ1 и sλ2 соответственно, а длительности занятия ресурса передачи информации имеют экспоненциальное распределение с параметрами µ1 и µ2 соответственно. Построить для объединенной системы зависимость δ и π = max(π1, π2) от s, где s = 10.

14. Оценка эффекта мультиплексирования. Предположим, что объединяются трафик и скорости s мультисервисных линий. Будем считать, что число потоков, интенсивности трафика одинаковы и заданы параметрами, приведенными в общей постановке задачи. Скорость отдельной линии найдена при решении задачи п. 10 (максимальные потери заявок <0,03) . Используя общие свойства мультиплексирования, можно ожидать, что скорость линии концентрации трафика можно увеличить в меньшее, чем vs число раз до значения ∗, обеспечивающего максимальные потери заявок <0,03. Найти выигрыш от мультиплексирования для s = 10. Построить график зависимости требуемого числа каналов ∗ и объединяемого числа каналов от s.

15. Анализ процедуры слайсинга. Общий ресурс передачи информации составляет величину C, найденную при решении задачи п. 10, и далее умноженную на 5. Общий ресурс предназначен для обслуживания двух потоков трафика. Заявки 1-го потока для своего обслуживания требуют скорость 1 Мбит/c, 2-го – c2 в соответствии с общей формулировкой задачи. Среднее число потенциально занятых каналов определяются из выражений: a1b1 = 0,4v, a2b2 = 0,4v, где – общий объем ресурса в виртуальных каналах. Разделить общий ресурс на две части для обслуживания отдельно каждого потока, чтобы в первом случае потери заявок были одинаковы, а во втором случае был максимален доход R от передачи трафика R = a1b1(1 − π1) · r1 + a2b2(1 − π2) · r2, где r1 = 3 у.е. , r2 = 1 у.е.

Таблица.1 Индивидуальные значения входных параметров

№ Варианта

Мбит/с

Мбит/с

Мбит/с

Заяв./сек

Заяв./сек

Заяв./сек

Заяв./сек

12

36

4

12

12

2

2

1