Теория вероятностей СПбГТУ Вариант 12 (9 заданий)

Теория вероятностей СПбГТУ Вариант 12 (9 заданий)

Санкт-Петербургский Государственный Технический Университет

Ю.Д. Максимов, Б.А. Куклин, Ю.А. Хватов

МАТЕМАТИКА

Выпуск 6

Теория вероятностей

Контрольные задания с образцами решений

Тест

Конспект-справочник

Санкт-Петербург

Издательство СПбГТУ

2002

Теория вероятностей

Вариант 12 (9 заданий)

1. В семиэтажном доме лифт может останавливаться на шести этажах, начиная со второго. В лифт вошли 4 пассажира, каждый из которых с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже. Какова вероятность того, что пассажиры выйдут парами на разных этажах?

2. Дана схема включения элементов.

Вероятность отказа каждого элемента в течение времени T равна p. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме. Пусть событие Ai означает отказ элемента с номером i (i = 1, 2, 3 …), а событие B – отказ цепи за время T (прекращение тока в цепи). Требуется:

2.1. Написать формулу, выражающую событие B через все события Ai.

2.2. Найти вероятность события B.

2.3. Вычислить P(B) при p = 1/2.

3. В водоёме обитают три вида хищных рыб: судаки, щуки и окуни в соотношении 1 : 2 : 4. Для поимки хищной рыбы на некоторое время выставляется живцовая снасть. Оказавшийся в поле зрения хищника живец бывает им схвачен с вероятностью 0,4 – для судака, 0,3 – для щуки, 0,2 – для окуня.

3.1. Какова вероятность захвата живца хищником за время ловли (событие A), если вероятность обнаружения живца судаком, щукой или окунем пропорциональна их численности?

3.2. К какому виду вероятнее всего принадлежит рыба, схватившая живца?

4. Вероятность брака изделия равна 0,02. Контролёр-автомат обнаруживает брак с вероятностью 0,95. Найти вероятность того, что из n изделий, признанных контролёром-автоматом годными, бракованных не более одного.

4.1. Вычислить эту вероятность при n = 500.

4.2. Вычислить ту же вероятность с помощью приближённой формулы Пуассона.

4.3. Вычислить абсолютную D и относительную d погрешности приближённого вычисления.

5. Каждая из 100 деталей подвергается двум испытаниям. Вероятность выхода из строя каждой детали при первом испытании равна 0,1, при втором – 0,2. Найти закон распределения и математическое ожидание числа X вышедших из строя деталей.

6. Плотность вероятности случайной величины X задана формулой:

Найти:

6.1. C;

6.2. F(x);

6.3. mX;

6.4. DX;

6.5. sX;

6.6. P(|X – mX| < sX);

6.7. x1/4 – нижнюю квартиль.

6.8. Построить графики f(x) и F(x).

7. Ошибка X измерительного прибора распределена нормально. Систематическая ошибка прибора отсутствует (mX = 0). Средняя квадратическая ошибка sX = 8 мкм (микрометров). Найти вероятность того, что при очередном измерении ошибка превысит по модулю 8 мкм.

8. Детали на производстве сортируются на 4 группы по величине отклонений от номиналов двух существенных параметров. Отклонения ранжируются. Ранги X, Y отклонений могут принимать лишь значения 0 и 1. Распределение двумерной случайной величины (X, Y) задано таблицей.

Y

X 0 1

0 p11 p12

1 p21 p22

Здесь:

p11 = 0,4, p12 = 0,2, p21 = 0,1, p22 = 0,3.

Найти коэффициент корреляции rXY, называемый ранговым.

9. Плотность вероятности двумерной случайной величины (X, Y) задана формулой:

Найти:

9.1. C;

9.2. fX(x), fY(y);

9.3. mX, mY.

9.4. sX, sY;

9.5. rXY.

9.6. Выяснить, зависимы или нет X, Y.