Основы математического моделирования социально-экономических процессов (Вариант 1)

Сделана в марте 2018 года .

Работа была успешно сдана - заказчик претензий не предъявлял.

Оригинальность работы по Antiplagiat.ru на 11.08.20209 г. составила 71%

1.Линейное программирование (решение можно проводить либо графическим методом, либо с использованием компьютера в программе MS Excel) (15 баллов)

1

2.Анализ временных рядов (15 баллов)

Дан временной ряд, характеризующий динамику выпуска продукции неким предприятием.

Год, x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Продукция, y 740 804 879 961 1042 1137 1242 1357 1490 1450 1488 1512 1524 1540 1600

Определить оптимальный тренд и рассчитать точечный прогноз на последующие пять лет. Проверить модель на значимость.

3.Метод анализа иерархий (15 баллов)

Приведите пример, связанный с вашей непосредственной деятельностью, в котором для принятия решения Вы использовали метод анализа иерархий (МАИ). Приведите численную реализацию решения.

4.Линейный парный регрессионный анализ (15 баллов)

В таблице представлены: расходы предприятия на рекламу и продвижение товаров на рынок Y и прибыль предприятия X.

Y X

35 40

18 36

18 40

18 38

19 39

16 38

18 39

22 35

14 34

20 36

17 31

23 39

28 43

16 33

25 34

18 39

27 41

14 31

25 40

20 36

23 54

Провести линейный регрессионный анализ расходов предприятия на рекламу в зависимости от прибыли предприятия. Проверить значимость регрессионной модели. Осуществить прогноз с помощью регрессионной модели для Х=60.

5.Линейный множественный регрессионный анализ (15 баллов)

Приведены данные за 15 лет по темпам прироста заработной платы (%), производительности труда (%), а также по уровню инфляции (%).

3,5 2,8 6,3 4,5 3,1 1,5 7,6 6,7 4,2 2,7 4,5 3,5 5 2,3 2,8

4,5 3 3,1 3,8 3,8 1,1 2,3 3,6 7,5 8 3,9 4,7 6,1 6,9 3,5

9 6 8,9 9 7,1 3,2 6,5 9,1 14,6 11,9 9,2 8,8 12 12,5 5,7

Провести линейный множественный регрессионный анализ. Проверить значимость модели. Проверить модель на мультиколлинеарность. Спрогнозируйте прирост заработной платы, если производительность труда составит 5, а значение уровня инфляции равно 6.

6.Анализ зависимостей в слабых шкалах (10 баллов)

С помощью таблицы сопряженности проверить гипотезу «Признак «возраст» является фактором длительности заболеваний желудочно-кишечного тракта на заводе «Экран»».

Число дней нетрудосп. за год Возраст, лет

До 30 31-40 41-50 51 и более

0 9 6 3 3

1–5 2 4 2 1

6–10 5 1 6 2

11–15 1 2 7 3

16 и более 0 9 13 5

7.Теория игр (15 баллов)

Определить оптимальные стратегии игроков и цену игры при заданной матрице игры

Игрок

Игрок

3 5 8 6 11

8 4 12 7 9

2 0 9 8 4

Сравнение графиков и характеристик позволяет в качестве наиболее подходящей выбрать полиномиальную модель с наибольшим коэффициентом детерминации .

Проверим значимость линейного уравнения с помощью F – критерия Фишера.

F – статистика определена программой РЕГРЕССИЯ (таблица «Дисперсионный анализ») и составляет .

Для уровня значимости =5% и чисел степеней свободы k1=m=1 (один фактор), k2=n–m–1=15–1–1=13 по таблице критических значений критерия Фишера: Fкр= 4,67

Схема проверки:

Сравнение показывает: F =178,06 > Fкр = 4,67, следовательно, уравнение линейной модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается факторной переменной Х.

Для заданных прогнозных значений рассчитаем по уравнениям моделей прогнозные значения :

Модель\Год 16 17 18 19 20

Линейная

1768 1832 1897 1961 2026

Логарифмическая

938 938 938 938 938

Полиномиальная

1594 1594 1586 1570 1547

3.Метод анализа иерархий (15 баллов)

Приведите пример, связанный с вашей непосредственной деятельностью, в котором для принятия решения Вы использовали метод анализа иерархий (МАИ). Приведите численную реализацию решения.

Решение:

Цель: выбрать лучшего кандидата на вакансию

Критерии:

– Образование;

– Опыт работы;

– Наличие определенных навыков.

Альтернативы:

– Кандидат 1;

– Кандидат 2.

В матрице попарных сравнений сравнение критериев проводится по качественной шкале:

равно (безразлично) =1

немного лучше (хуже) =3 (1/3)

лучше (хуже)=5 (1/5)

значительно лучше (хуже) =7 (1/7)

принципиально лучше (хуже) =3 (1/3)

При промежуточном мнении используются промежуточные баллы 2, 4, 6, 8. Рамкой выделены данные значения.

1.Составляем матрицу попарных сравнений критериев – отношение критерия i к критерию j:

Образов. Опыт Навыки

Образов. 1

4

0,25

Опыт 0,25 1

2

Навык 4 0,5 1

Сумма

5,25 5,5 3,25

2. Составляем нормированную матрицу (деление на суммы столбцов матрицы попарных сравнений) и вычисляем среднее в строках:

Образов. Опыт Навыки Среднее

Образов. 0,190476 0,727273 0,076923 0,331557

Опыт 0,047619 0,181818 0,615385 0,281607

Навык 0,761905 0,090909 0,307692 0,386835

Полученный столбец – весовой столбец критериев по цели. С точки зрения удовлетворения цели наиболее весомым является навык (38,7%), далее следует образование (33,2%), затем опыт (28,2%).

3.Аналогичное составление матриц альтернатив (кандидатов) для каждого критерия:

Образов. Канд.1 Канд.2

Канд.1 1

0,5

Канд.2 2

1

Сумма 3 1,5

Образов. Канд.1 Канд.2 Среднее

Канд.1 0,333333 0,333333 0,333333

Канд.2 0,666667 0,666667 0,666667

Опыт Канд.1 Канд.2

Канд.1 1

3

Канд.2 0,333333 1

Сумма 1,333333 4

Опыт Канд.1 Канд.2 Среднее

Канд.1 0,75 0,75 0,75

Канд.2 0,25 0,25 0,25

Навык Канд.1 Канд.2

Канд.1 1

4

Канд.2 0,25 1

Сумма 1,25 5

Навык Канд.1 Канд.2 Среднее

Канд.1 0,8 0,8 0,8

Канд.2 0,2 0,2 0,2

По критерию «Образование» наиболее весомым является Кандидат 2 (66,7%), по критерию «Опыт» – Кандидат 1 (75%), по критерию «Навык» –

Кандидат 1 (80%)

4.В результате сформированы:

вектор весов критериев

матрица весов альтернатив по каждому критерию

Матрица весов альтернатив с точки зрения достижения цели получается умножением этих матриц:

Таким образом, Кандидат 1 с весом 63,1% является более привлекательным для данной вакансии, чем Кандидат 2 с весом 36,9% .

4.Линейный парный регрессионный анализ (15 баллов)

В таблице представлены: расходы предприятия на рекламу и продвижение товаров на рынок Y и прибыль предприятия X.

Y X

35 40

18 36

18 40

18 38

19 39

16 38

18 39

22 35

14 34

20 36

17 31

23 39

28 43

16 33

25 34

18 39

27 41

14 31

25 40

20 36

23 54

Провести линейный регрессионный анализ расходов предприятия на рекламу в зависимости от прибыли предприятия. Проверить значимость регрессионной модели. Осуществить прогноз с помощью регрессионной модели для Х=60.

Решение:

Для построения однофакторной линейной модели используем программу РЕГРЕССИЯ (Данные / Анализ данных). В качестве «входного интервала Х» покажем значения фактора Х.

Результаты вычислений представлены в таблицах:

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный R 0,451843

R-квадрат 0,204162

Нормированный R-квадрат 0,162276

Стандартная ошибка 4,732351

Наблюдения 21

Дисперсионный анализ

df SS MS F Значимость F

Регрессия 1 109,1589 109,1589 4,874219 0,039754

Остаток 19 425,5078 22,39515

Итого 20 534,6667

Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%

Y-пересечение 2,624629 8,237079 0,318636 0,753479 -14,6158 19,86503

X 0,475983 0,215595 2,207763 0,039754 0,024737 0,92723

Таким образом, модель однофакторной регрессии построена, ее уравнение имеет вид:

Коэффициент регрессии , следовательно, при увеличении прибыли предприятия (Х) на 1 расходы предприятия на рекламу и продвижение товаров на рынок (Y) увеличиваются в среднем на 0,47598.

Свободный член в данном уравнении не имеет реального смысла.

Проверим значимость полученного уравнения с помощью F – критерия Фишера.

F–статистика определена программой РЕГРЕССИЯ (таблица «Дисперсионный анализ») и составляет .

Для уровня значимости =5% и чисел степеней свободы k1=m=1 (один фактор), k2=n–m–1=21–1–1=19 по таблице критических значений критерия Фишера: Fкр= 4,38

Схема проверки:

Сравнение показывает: F =4,87 > Fкр = 4,38, следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается факторной переменной Х.

Для заданного прогнозного значения рассчитаем по уравнению модели прогнозное значение :

5.Линейный множественный регрессионный анализ (15 баллов)

Приведены данные за 15 лет по темпам прироста заработной платы (%), производительности труда (%), а также по уровню инфляции (%).

3,5 2,8 6,3 4,5 3,1 1,5 7,6 6,7 4,2 2,7 4,5 3,5 5 2,3 2,8

4,5 3 3,1 3,8 3,8 1,1 2,3 3,6 7,5 8 3,9 4,7 6,1 6,9 3,5

9 6 8,9 9 7,1 3,2 6,5 9,1 14,6 11,9 9,2 8,8 12 12,5 5,7

Провести линейный множественный регрессионный анализ. Проверить значимость модели. Проверить модель на мультиколлинеарность. Спрогнозируйте прирост заработной платы, если производительность труда составит 5, а значение уровня инфляции равно 6.

Решение:

Используем Excel (Данные / Анализ данных / КОРРЕЛЯЦИЯ):

Получим матрицу коэффициентов парной корреляции между всеми имеющимися переменными:

Y X1 X2

Y 1

X1 0,131536 1

X2 0,912677 -0,17993 1

Для оценки общей мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы коэффициентов корреляции между факторами:

Так как значение определителя матрицы межфакторной корреляции близко к единице, то общая мультиколлинеарность факторов достаточно мала.

Для построения двухфакторной линейной модели используем программу РЕГРЕССИЯ (Данные / Анализ данных). В качестве «входного интервала Х» покажем значения факторов Х1 и Х2.

Результаты вычислений представлены в таблицах:

Регрессионная статистика

Множественный R 0,96092

R-квадрат 0,92337

Нормированный R-квадрат 0,91060

Стандартная ошибка 0,89111

Наблюдения 15

Дисперсионный анализ

df SS MS F

Регрессия 2 114,831 57,415 72,3042

Остаток 12 9,52898 0,794

Итого 14 124,36

Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%

Y-пересечение 0,27060 0,88555 0,30557 0,76516 -1,65885 2,2000

X1 0,52573 0,13972 3,76254 0,00270 0,22129 0,830

X2 1,47980 0,1242 11,9121 5,2483E-08 1,20914 1,7504

Таким образом, модель двухфакторной регрессии построена, ее уравнение имеет вид:

Коэффициент регрессии , следовательно, при увеличении производительности труда (Х1) на 1 заработная плата (Y) увеличивается в среднем на 0,52573.

Коэффициент регрессии , следовательно, при увеличении уровня инфляции (Х2) на 1 заработная плата (Y) увеличивается в среднем на 1,47980.

Свободный член в данном уравнении не имеет реального смысла.

Проверим значимость полученного уравнения с помощью F – критерия Фишера.

F – статистика определена программой РЕГРЕССИЯ (таблица «Дисперсионный анализ») и составляет .

Для уровня значимости =5% и чисел степеней свободы k1=m=2 (два фактора), k2=n–m–1=15–2–1=12 по таблице критических значений критерия Фишера: Fкр= 3,89

Схема проверки:

Сравнение показывает: F =72,3 > Fкр = 3,89, следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенными в модель факторными переменными Х1 и Х2.

Для заданных прогнозных значений и рассчитаем по уравнению модели прогнозное значение :

6.Анализ зависимостей в слабых шкалах (10 баллов)

С помощью таблицы сопряженности проверить гипотезу «Признак «возраст» является фактором длительности заболеваний желудочно-кишечного тракта на заводе «Экран»».

Число дней нетрудосп. за год Возраст, лет

До 30 31-40 41-50 51 и более

0 9 6 3 3

1–5 2 4 2 1

6–10 5 1 6 2

11–15 1 2 7 3

16 и более 0 9 13 5

Решение:

В задании опечатка. Даны две разные задачи.

Таблица сопряженности частот для средних интервальных значений:

Длительность заболевания,

среднее

Возраст, среднее

Всего

15 35,5 45,5 55,5

0 9 6 3 3 21

3 2 4 2 1 9

8 5 1 6 2 14

13 1 2 7 3 13

18 0 9 13 5 27

Всего

17 22 31 14 84

Объем выборки:

Рассмотрим нулевую гипотезу H0:

«Длительность заболевания (Х) не зависит от возраста (Y)»

и альтернативную гипотезу H1:

«Длительность заболевания (Х) зависит от возраста (Y)»

Таблица теоретически ожидаемых частот в предположении гипотезы H0:

Длительность заболевания,

среднее

Возраст, среднее

Всего

15 35,5 45,5 55,5

0

21

3

9

8

14

13

13

18

27

Всего

17 22 31 14 84

Рассчитываем статистику: , где

Число степеней свободы:

Соответствующее критическое значение критерия Пирсона при вероятности ошибки α = 0,05:

Поскольку то выдвинутая гипотеза H0 отвергается и принимается гипотеза H1. В этом случае можно сделать вывод о наличии зависимости между длительностью заболевания (Х) и возрастом (Y).

7.Теория игр (15 баллов)

Определить оптимальные стратегии игроков и цену игры при заданной матрице игры

Игрок

Игрок

3 5 8 6 11

8 4 12 7 9

2 0 9 8 4

Решение:

Выясним, есть ли тут седловая точка.

3 5 8 6 11 3

8 4 12 7 9 4

2 0 9 8 4 0

8 5 12 8 11 5/4

Нижняя цена игры:

Верхняя цена игры:

Так как нижняя цена не равна верхней цене, то седловой точки нет, а, следовательно, и нет решения в чистых стратегиях. Таким образом, решение матричной игры нужно искать в смешанных стратегиях.

Исследуем матрицу с точки зрения доминирования.

Стратегия доминирует над стратегией , т.к. все элементы 3-го столбца больше соответствующих элементов 2-го столбца. Уберем 3-й столбец:

3 5 6 11

8 4 7 9

2 0 8 4

Стратегия доминирует над стратегией , т.к. все элементы 4-го столбца больше соответствующих элементов 2-го столбца. Уберем 4-й столбец:

3 5 11

8 4 9

2 0 4

Стратегия доминирует над стратегией , т.к. все элементы 5-го столбца больше соответствующих элементов 2-го столбца. Уберем 5-й столбец:

3 5

8 4

2 0

Стратегия строго доминируется стратегией , т.к. все элементы 2-й строки больше соответствующих элементов 3-й строки. Уберем 3-ю строку:

3 5

8 4

Получили матрицу выигрышей, где у игроков А и В нет доминирующих стратегий.

Сначала найдем оптимальную стратегию игрока В.

Решим следующую задачу линейного программирования:

Оптимизировать функцию при ограничениях:

Это задача линейного программирования.

Задача решена симплексным методом. Оптимизация проведена в среде Ехсеl. При оформлении диалогового окна Поиск решения вводятся ограничения, в режиме Параметры устанавливается линейная модель (это обеспечит применение симплекс-метода).

Результаты поиска решения:

Задача 7 Переменные

y1 y2 Значение ЦФ

Значения 0,0357 0,1786

Коэффициенты ЦФ 1 1 0,2143

Ограничения

3 5 1,0000 = 1

– искомые оптимальные значения.

Вероятности того, что игрок А выбирает i-ю строку (i =1,2):

Оптимальная смешанная стратегия игрока А – 2-хмерный вектор вероятностей – имеет вид .

Цена игры: