Теория вероятностей СПбГТУ Вариант 24 (9 заданий)

Теория вероятностей СПбГТУ Вариант 24 (9 заданий)

Санкт-Петербургский Государственный Технический Университет

Ю.Д. Максимов, Б.А. Куклин, Ю.А. Хватов

МАТЕМАТИКА

Выпуск 6

Теория вероятностей

Контрольные задания с образцами решений

Тест

Конспект-справочник

Санкт-Петербург

Издательство СПбГТУ

2002

Теория вероятностей

Вариант 24 (9 заданий)

1. 3 ракетные установки производят залп по 5 воздушным целям. Каждая из них выбирает цель независимо от других. Найти вероятность того, что все ракеты будут выпущены по одной цели.

2. Дана схема включения элементов.

Вероятность отказа каждого элемента в течение времени T равна p. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме. Пусть событие Ai означает отказ элемента с номером i (i = 1, 2, 3 …), а событие B – отказ цепи за время T (прекращение тока в цепи). Требуется:

2.1. Написать формулу, выражающую событие B через все события Ai.

2.2. Найти вероятность события B.

2.3. Вычислить P(B) при p = 1/2.

3. Вероятность брака детали равна p. Деталь после изготовления проверяется контролёром-автоматом, который обнаруживает брак с вероятностью p1 и по ошибке бракует годную деталь с вероятностью p2.

3.1. Найти вероятность того, что произведённая деталь не будет забракована (событие A).

3.2. Вычислить P(A) при p = 0,02, p1 = 0,95, p2 = 0,01.

3.3. Вычислить по формуле Байеса вероятность того, что деталь, признанная годной в ходе контроля, на самом деле является бракованной.

4. Наводнением в Санкт-Петербурге считается подъём воды в Неве до 160 см и выше над нулевой отметкой. За период 1703-1994 гг. зарегистрировано 295 наводнений. Из них 94 были с высотой подъёма воды не менее 200 см над нулевой отметкой (событие A), а 3 – с высотой подъёма воды выше 3 м (событие B), (1777, 1824, 1924 гг.). На основе этих статистических данных примем P(A) = 94/295 = 0,32, P(B) = 3/295 = 0,01.

4.1. Найти вероятность того, что среди пяти предстоящих последовательных наводнений будет не более двух наводнений с высотой подъёма воды не менее 200 см.

4.2. С помощью приближённой формулы Пуассона вычислить вероятность того, что среди 50 последовательных наводнений будет не более одного наводнения с высотой подъёма воды выше 3 м.

5. Станок-автомат при изготовлении изделия допускает сбой, выпуская бракован-ное изделие, с вероятностью p. После первого же сбоя производится переналадка станка. Пусть X – число изделий, выпущенных автоматом между двумя переналадками.

5.1. Составить закон распределения X.

5.2. Найти mX и вычислить его при p = 0,05.

6. Дана плотность вероятности f(x) случайной величины X:

Найти:

6.1. C;

6.2. F(x);

6.3. mX;

6.4. DX;

6.5. sX;

6.6. P(|X – mX| < sX);

6.7. x1/4 – нижнюю квартиль.

6.8. Построить графики f(x) и F(x).

7. Измерительный прибор имеет систематическую ошибку mX = 10 см и среднее квадратическое отклонение sX = 50 см ошибки измерения X. Предполагается, что случайная величина X распределена нормально.

7.1. Найти вероятность P(|X| < 100).

7.2. Как изменится эта вероятность, если ликвидировать систематическую ошибку?

8. Детали на производстве сортируются на 4 группы по величине отклонений от номиналов двух существенных параметров. Отклонения ранжируются. Ранги X, Y отклонений могут принимать лишь значения 0 и 1. Распределение двумерной случайной величины (X, Y) задано таблицей.

Y

X 0 1

0 p11 = 0,06 p12 = 0,24

1 p21 = 0,14 p22 = 0,56

Здесь:

p11 = 0,06, p12 = 0,24, p21 = 0,14, p22 = 0,56.

Найти коэффициент корреляции rXY, называемый ранговым.

9. Дана плотность вероятности fXY(x,y) двумерной случайной величины (X, Y):

Найти:

9.1. C;

9.2. fX(x), fY(y);

9.3. mX, mY.

9.4. sX, sY;

9.5. rXY.

9.6. Выяснить, зависимы или нет X, Y.