Теория вероятностей СПбГТУ Вариант 01 (9 заданий)

Теория вероятностей СПбГТУ Вариант 01 (9 заданий)

Санкт-Петербургский Государственный Технический Университет

Ю.Д. Максимов, Б.А. Куклин, Ю.А. Хватов

МАТЕМАТИКА

Выпуск 6

Теория вероятностей

Контрольные задания с образцами решений

Тест

Конспект-справочник

Санкт-Петербург

Издательство СПбГТУ

2002

Теория вероятностей

Вариант 01 (9 заданий)

1. На карточках написаны все натуральные числа от 1 до 10. Из этих 10 карточек случайно выбираются две (без возвращения). Найти вероятность того, что на каждой из них окажутся числа, меньшие 7.

2. Дана схема включения элементов.

Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени T равна p. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме. Пусть событие Ai означает безотказную работу за время T элемента с номером i (i = 1, 2, …), а событие B – безотказную работу всей цепи. Требуется:

2.1. Написать формулу, выражающую событие B через все события Ai.

2.2. Найти вероятность события B.

2.3. Вычислить вероятность P(B) при p = 1/2.

3. Детали изготавливаются на двух станках. На первом станке – 40 %, на втором – 60 %. Среди деталей, изготовленных на первом станке, брак составляет 2 %, на втором – 1,5 %. Случайным образом взята одна деталь для контроля. Найти вероятности событий:

3.1. Деталь бракованная.

3.2. Деталь изготовлена на первом станке, если она при проверке оказалась без брака.

4. Вероятность появления опечатки на странице книги, содержащей 100 страниц, равна 0,03. Найти вероятность того, что в книге имеется не более двух опечаток:

4.1. По точной биномиальной формуле.

4.2. По приближённой формуле Пуассона.

4.3. Вычислить абсолютную D и относительную d погрешности приближённого вычисления.

5. Три одинаковых прибора совместно, но независимо, испытываются до тех пор, пока хотя бы один из них не даст отказ. Вероятность отказа одного прибора при одном испытании равна 0,1. Найти:

5.1. Закон распределения случайной величины X, равной числу испытаний.

5.2. P(X < 3).

5.3. mX.

6. Дана плотность вероятности f(x) случайной величины X. Найти:

6.1. C.

6.2. F(x).

6.3. mX.

6.4. DX.

6.5. sX.

6.6. P(X > mX).

6.7. Me.

6.8. Построить графики f(x) и F(x).

7. Автоматическая линия изготавливает игольчатые ролики с диаметром, отличным от номинала на величину X, подчиняющуюся нормальному закону с mX = -0,005 мм. Ролик считается стандартным, если -0,01 мм < X < 0 мм, в противном случае – бракованным. Каким должно быть sX, чтобы брак не превышал 1 %?

8. X, Y – индикаторы событий A, B, означающие положительные ответы соответственно на вопросы a, b социологической анкеты. По данным социологического опроса двумерная случайная величина (X, Y) имеет следующую таблицу распределения.

Y

X 0 1

0 p11 p12

1 p21 p22

Положительному ответу присвоен ранг 1, отрицательному – 0.

Здесь:

p11 = 0,8, p12 = 0,05, p21 = 0,1, p22 = 0,05.

Найти коэффициент корреляции rXY.

9. Двумерная случайная величина (X, Y) распределена равномерно в области D:

D – треугольник с вершинами O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1).

9.1. Составить плотность вероятности fXY(x,y).

9.2. Найти fX(x), fY(y).

Вычислить:

9.3. mX, mY.

9.4. sX, sY.

9.5. rXY.

9.6. Выяснить, зависимы или нет X, Y.