Логика и аргументация нового времени

Содержание

Введение 3
1. Развитие логики и аргументации в новом времени 4
1.1 Теория множеств 4
1.2 Проблема континуума и аксиома конструктивности 7
2. Проблемы и новые направления 10
2.1 Синтаксис и теория доказательств 12
2.2 Теоремы неполноты Геделя 16
2.3 Развитие теории моделей 20
2.4 Интерфейсы теории доказательств и теории моделей 21
2.5 Теория рекурсивных функций и вычисляемость 24
2.6 Приложения теории рекурсивных функций 27
Заключение 29
Список использованной литературы 31

Введение

Со времен Возрождения принято говорить о логике как о "современной логике"."Это не означает, что произошло плавное развитие единой концепции рассуждения, или что логика этого периода является “современной” в обычном смысле. Логика в современную эпоху проявила крайнее разнообразие , и ее хаотичное развитие слишком ярко отразило окружающую политическую и интеллектуальную среду смятение. Эти потрясения включают в себя само возрождение, уменьшение роли Римско-католической церкви и латыни, Реформацию и последующие религиозные войны, научную революцию и рост современной математики, подъем и падение империй и национальных государств, а также растущее влияние Нового Света и бывшего Советского Союза .

1. Развитие логики и аргументации в новом времени
1.1 Теория множеств

За исключением его фрагмента первого порядка, сложная теория Principia Mathematica была слишком сложной для математиков, чтобы использовать ее в качестве инструмента рассуждения в своей работе. Вместо этого они стали полагаться почти исключительно на теорию множеств в ее аксиоматизированной форме. При таком использовании теория множеств служит не только теорией бесконечных множеств и видов бесконечности, но и универсальным языком, на котором можно формулировать и обсуждать математические теории. Поскольку она охватывала большую часть той же самой основы , что и логика более высокого порядка, однако, теория множеств была окружена теми же парадоксами это уже изводило логику высших порядков в ее ранних формах. Чтобы устран Показать все ить эти проблемы, немецкий математик Эрнест Цермело предпринял попытку обеспечить аксиоматизацию теории множеств под влиянием аксиоматического подхода Гильберта.
Противоречия, подобные парадоксу Рассела, возникли из того, что позже было названо принципом неограниченного понимания: предположение, что для любого свойства p существует множество , содержащее все и только те множества, которые имеют p . В системе Цермело принцип понимания исключается в пользу нескольких гораздо более ограничительных аксиом:
Аксиома экстенсиональности . Если два набора имеют одинаковые члены, то они идентичны.
Аксиома элементарных множеств . Существует набор без членов: null, или пустой, набор. Для любых двух объектов a и b существует множество (единичное множество), имеющее в качестве своего единственного члена a, а также множество, имеющее в качестве своих единственных членов a и b Скрыть