Экономико-математический анализ оптимальной производственной программы предприятия

Экономико-математический анализ оптимальной производственной программы предприятия ...

Введение………………………………………………………………………..3
1.Теоретический раздел…………………………………………………….…4
1.1 Математическое моделирование……………………………………...….4
1.2 Методы математического моделирования…………………………….…7
1.3 Симплекс метод…………………………………………………………..18
2. Краткая характеристика ОАО « Вологодский машиностроительный завод»………………………………………………………………………….22
3. Аналитический раздел. Задача на определение оптимизации производственной программы основной продукции ОАО"ВМЗ"...............24
Вывод………………………………………………………………………….33
Список использованных источников……………………………………….34

Актуальность темы. Для изучения и воспроизведения многочисленных связей в экономике и измерения степени влияния различных факторов на результаты производственной деятельности, а также для решения конкретных планово-экономических задач с помощью математических методов и ЭВМ применяется моделирование экономических процессов.....

2. Методы, возврата. В этой группе методов также имеются различные модификации. Первый метод, названный методом «ветвей и границ», изложен [4, разд. 13.5] и предназначен для решения частично целочисленных задач. Как и в методе отсечения, решение задачи начинается с отыскания оптимального решения соответствующей регулярной задачи линейного программирования. Затем формируется семейство связанных, но различных задач линейного программирования.  
Существуют и другие подходы к решению целочисленных задач, которые хотя и не гарантируют отыскания оптимального решения, тем не менее в ряде частных случаев позволяют его находить,
а нередко дают решения, близкие к оптимальному. Один из таких подходов заключается в использовании случайной выборки допустимых решений с последующим улучшением каждого попавшего в выборку решения в случае, когда возможность улучшения соответствующего решения удается достаточно просто обнаружить.
В ряде практических ситуаций такие методы отыскания решений оказались достаточно эффективными.
 
Имитационное моделирование
Имитационное моделирование — это метод исследования, при котором изучаемая система заменяется моделью с достаточной точностью описывающей реальную систему и с ней проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе. Экспериментирование с моделью называют имитацией.
К имитационному моделированию прибегают, когда:
дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте;
невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время, причинные связи, последствие, нелинейности, стохастические (случайные) переменные;
необходимо сымитировать поведение системы во времени.
Преимущества имитационного моделирования:
Стоимость. Допустим, компания уволила часть сотрудников, что в дальнейшем привело к снижению качества обслуживания и потери части клиентов. Принять обоснованное решение помогла бы имитационная модель, затраты на применение которой состоят лишь из цены программного обеспечения и стоимости консалтинговых услуг.
Время. В реальности оценить эффективность, например, новой сети распространения продукции или измененной структуры склада можно лишь через месяцы или даже годы. Имитационная модель позволяет определить оптимальность таких изменений за считанные минуты, необходимые для проведения эксперимента.
Повторяемость. Современная жизнь требует от организаций быстрой реакции на изменение ситуации на рынке. Например, прогноз объемов спроса продукции должен быть составлен в срок, и его изменения критичны. С помощью имитационной модели можно провести неограниченное количество экспериментов с разными параметрами, чтобы определить наилучший вариант.
Точность. Традиционные расчетные математические методы требуют применения высокой степени абстракции и не учитывают важные детали. Имитационное моделирование позволяет описать структуру системы и её процессы в естественном виде, не прибегая к использованию формул и строгих математических зависимостей.
Наглядность. Имитационная модель обладает возможностями визуализации процесса работы системы во времени, схематичного задания её структуры и выдачи результатов в графическом виде. Это позволяет наглядно представить полученное решение и донести заложенные в него идеи до клиента и коллег.
Универсальность. Имитационное моделирование позволяет решать задачи из любых областей: производства, логистики, финансов, здравоохранения и многих других. В каждом случае модель имитирует, воспроизводит, реальную жизнь и позволяет проводить широкий набор экспериментов без влияния на реальные объекты.
Большое количество управляемых примеров применения метода в можно найти на сайте [16].
 
2.               Физическое моделирование
В физическое моделировании производятся опыты над физически подобным, но значительно меньшим объемом продукции. Например, методы физического моделирования позволяют сталеплавильщику смоделировать работу установки в лабораторных условиях, чтобы определить оптимальные рабочие параметры и применить их затем в производственном процессе. Преимущества очевидны: сталеплавильщик определяет, как подстроить установку, не выводя ее из производства, экономит деньги на материалах, проводя 10 или более «микроплавок» в день (на всего нескольких унциях стали), чтобы создать модели, устранить проблемы и разработать наиболее эффективные методы работы.
Аналогично можно изучить и другие процессы в производстве затратив минимальное количество ресурсов. Зачастую это проще и дешевле, чем моделировать математические или полноразмерные натурные модели.
 
3.               Натурное моделирование
Под натурным моделированием имеется ввиду создание полноразмерных моделей исследуемого объекта или процесса. Это различные стадии прототипирования с необходимой на данном этапе степенью точности и тестовые партии. Метод позволяет выявить недостатки проектирования на ранних этапах.
Рабочие прототипы изделий (особенно сложных устройств) при отсутствии специализированной оснастки,  деталей могут быть очень дороги – в десятки раз превышать стоимость серийного образца. 
Также в метод включаются модели процессов – например, действий рабочего для производства детали.
1.3 Симплекс метод
Симплексный метод – это вычислительная процедура, основанная на принципе последовательного улучшения решений при переходе от одной базисной точки (базисного решения) к другой. При этом значение целевой функции улучшается.
Базисным решением является одно из допустимых решений, находящихся в вершинах области допустимых значений. Проверяя на оптимальность вершину за вершиной симплекса, приходят к искомому оптимуму. На этом принципе основан симплекс-метод.
Симплекс – это выпуклый многоугольник в n-мерном пространстве с n+1 вершинами, не лежащими в одной гиперплоскости (гиперплоскость делит пространство на два полупространства).
Например, линия бюджетных ограничений делит блага на доступные и недоступные.
Доказано, что если оптимальное решение существует, то оно обязательно будет найдено через конечное число итераций (шагов), кроме случаев «зацикливания».
Алгоритм симплексного метода состоит из ряда этапов.
Первый этап. Строится исходная оптимизационная модель. Далее исходная матрица условий преобразуется в приведенную каноническую форму, которая среди всех других канонических форм выделяется тем, что:
а) правые части условий (свободные члены bi) являются величинами неотрицательными;
б) сами условия являются равенствами;
в) матрица условий содержит полную единичную подматрицу.
Если свободные члены отрицательные, то обе части неравенства умножаются на - 1, а знак неравенства меняется на противоположный. Для преобразования неравенств в равенства вводятся дополнительные переменные, которые, обычно, обозначают объем недоиспользованных ресурсов. В этом их экономический смысл.
Наконец, если после добавления дополнительных переменных, матрица условий не содержит полную единичную подматрицу, то вводятся искусственные переменные, которые не имеют никакого экономического смысла. Они вводятся исключительно для того, чтобы получить единичную подматрицу и начать процесс решения задачи при помощи симплексного метода.
В оптимальном решении задачи все искусственные переменные (ИП) должны быть равными нулю. Для этого вводят искусственные переменные в целевую функцию задачи с большими отрицательными коэффициентами (-М) при решении задачи на max, и с большими положительными коэффициентами (+М), когда задача решается на min. В этом случае даже незначительное ненулевое значение искусственной переменной будет резко уменьшать (увеличивать) значение целевой функции. Обычно М в 1000 раз должно быть больше, чем значения коэффициентов при основных переменных.
Второй этап. Строится исходная симплекс-таблица и отыскивается некоторое начальное базисное решение. Множество переменных, образующих единичную подматрицу, принимается за начальное базисное решение. Значения этих переменных равны свободным членам. Все остальные внебазисные переменные равны нулю.
Третий этап. Проверка базисного решения на оптимальность осуществляется при помощи специальных оценок коэффициентов целевой функции. Если все оценки коэффициентов целевой функции отрицательны или равны нулю, то имеющееся базисное решение – оптимальное. Если хотя бы одна оценка коэффициента целевой функции больше нуля, то имеющееся базисное решение не является оптимальным и должно быть улучшено.
Четвертый этап. Переход к новому базисному решению. Очевидно, что в оптимальный план должна быть введена такая переменная, которая в наибольшей степени увеличивает целевую функцию. При решении задач на максимум прибыли в оптимальный план вводится продукция, производство которой наиболее выгодно. Это определяется по максимальному положительному значению оценки коэффициента целевой функции.
Столбец симплексной таблицы с этим номером на данной итерации называется генеральным столбцом.
Далее, если хотя бы один элемент генерального столбца аij0 строго положителен, то отыскивается генеральная строка (в противном случае задача не имеет оптимального решения).
Для отыскания генеральной строки все свободные члены (ресурсы) делятся на соответствующие элементы генерального столбца (норма расхода ресурса на единицу изделия). Из полученных результатов выбирается наименьший. Соответствующая ему строка на данной итерации называется генеральной. Она соответствует ресурсу, который лимитирует производство на данной итерации.
Элемент симплексной таблицы, находящийся на пересечении генеральных столбца и строки, называется генеральным элементом.
Затем все элементы генеральной строки (включая свободный член), делятся на генеральный элемент. В результате этой операции генеральный элемент становится равным единице. Далее необходимо, чтобы все другие элементы генерального столбца стали бы равны нулю, т.е. генеральный столбец должен стать единичным. Все строки (кроме генеральной) преобразуются следующим образом. Полученные элементы новой строки умножаются на соответствующий элемент генерального столбца и полученное произведение вычитается из элементов старой строки.
Значения новых базисных переменных получим в соответствующих ячейках столбца свободных членов.
Пятый этап. Полученное базисное решение проверяется на оптимальность (см. третий этап). Если оно оптимально, то вычисления прекращаются. В противном случае необходимо найти новое базисное решение (четвертый этап) и т. д.

2 Краткая характеристика предприятия ОАО « Вологодский машиностроительный завод»
ОАО « Вологодский машиностроительный завод является ведущим предприятием России по выпуску разнообразного технологического оборудования для народно-хозяйственного комплекса, в первую очередь для молочной промышленности. 
Производится выпуск автоцистерн вместимостью от 1000 до 16000 литров  на шасси ГАЗ,Газель,УАЗ,КаМАЗ,МАЗ, ЗИЛ,УРАЛ,KiA,Ford и  ISUZU прицепах и полуприцепах российского и импортного производства емкостью от 900 до 30000 литров. 
Цистерны по своим техническим параметрам превосходят российские аналоги и не уступают западным. 
В производстве автоцистерн ОАО Вологодский машиностроительный завод, использует импортную нержавеющую сталь, имеющую существенно лучшие технические характеристики, чем у  производителей нержавеющей стали России. Применяемая высококачественная коррозионно-стойкая сталь AISI-304 удовлетворяет всем  требованиям санитарии. Высокая чистота поверхности обеспечивает надежную мойку цистерны при меньших расходах моющих средств. 
Оригинальные конструктивные решения, кроме высокой надежности, позволяют потребителю с меньшими материальными затратами, по сравнению с отечественными аналогами, перевозить условную единицу жидкости. Конструкция цистерн круглого сечения – защищена патентом России. 
Автоцистерны работают как в экстремальных условиях крайнего Севера, так и южных регионов (Туркмения, Узбекистан, Ирак). Возможна комплектация цистерн: спецнасосами( в том числе автономными помпами производства Франции и Японии) на закачку и выкачку продукта с подбором характеристик по желанию заказчика; насосами, работающими от коробки отбора мощности. 
Для сбора молока на автоцистерну может монтироваться приборный отсек ( измерительная система) контроля качества и количества. На весь выпускаемый спектр автотранспорта имеется Одобрение Типа Транспортного Средства. Помимо автоцистерн завод специализируется на выпуске резервуаров-охладителей молока  закрытого типа вместимостью 2500,3500 и 5000 л, открытого типа вместимостью 450,1000, 1500 и 2000 литров; стационарном емкостном оборудовании для хранения и переработки пищевых жидкостей объемом от 250 до 50000 литров. 
С 2003 года продукция завода сертифицирована на соответствие требованиям МС ИСО 9001:2008, сертификат TIC. 
ОАО «Вологодский машиностроительный завод» постоянно принимает активное участие в специализированных, многопрофильных международных и региональных выставках и ярмарках, где достойно оценивается продукция выпускаемая предприятием. 
Об этом свидетельствуют многочисленные награды: грамоты, дипломы, золотые медали, полученные на конкурсах – « РОСАГРО», «Золотая осень», « Молочный форум», «МИМС», «КОМТРАНС», «Всероссийская марка» 3 тысячелетие. Ряд видов продукции входит в перечень « 100 лучших товаров России». Нашими клиентами и партнерами являются крупнейшие фирмы России: Wimm Bill Dann, ГК « Юнимилк», Татарстан СЭТЭ и др. 
Завод поставляет продукцию на экспорт в страны ближнего и дальнего зарубежья: Республику Казахстан, Литву, Латвию, Белоруссию, Украину, Туркмению, Ирак и др. 
По итогам работы завод неоднократно включается  в перечень «1000 лучших предприятий и организаций России». 
Накопленный многолетний опыт, производственный и интеллектуальный потенциал предприятия позволяют судить о том, что Вологодский машиностроительный завод является Российским лидером в области производства оборудования для сбора, хранения и перевозки молока, а также транспортировки практически всех видов пищевых жидкостей. Сегодня все оборудование, выпускаемое нашим предприятием, отвечает требованиям государственных стандартов и санитарных норм, а самое главное требованием наших потребителей.
Основные виды продукции и услуг:
Специальные автотранспортные средства для перевозки пищевых жидкостей (молоко, питьевая и миниральная вода, растительные масла, жиры, пиво, виноматериалы, спирт, спиртосодержащие жидкости, сахарная патока, шоколадная глазурь); живой рыбы; технических жидкостей (кислот, щелочей, смол, коагулянтов); сырой нефти; нефтепродуктов и химии вместимостью от 1200 до 16000 л. на шасси ГАЗ, ГАЗель, УАЗ, КамАЗ, МАЗ, ЗИЛ, УРАЛ, прицепах и полуприцепах российского и импортного производства емкостью от 900 до 35000 л.
Оборудование для приемки, хранения и переработки молока и других пищевых жидкостей - резервуары вертикального и горизонтального исполнения из нержавеющей стали вместимостью от 250 до 50000 литров. Теплообменные аппараты с рубашками нагрева или охлаждения щелевого типа объемом до 50 000 литров.
Резервуары-охладители молока с непосредственным охлаждением фреоном R22 вместимостью от 450 литров до 5000 литров.
Молокоприемные пункты (МПП) для приема и охлаждения молока от населения и крестьянско-фермерских хозяйств от 450 до 11000 литров.
Изготовление технологического и нестандартизированного оборудования, используемого при производстве, переработке, транспортировании ядерного топлива и ядерных материалов.
Раскрой металлов на лазерном комплексе
3 Аналитический раздел.
Задача на определение оптимизации производственной программы основной продукции ОАО"ВМЗ".
Исходные данные для модели оптимизации производственной программы основной продукции ОАО"ВМЗ"
Ресурсы
Нормы затрат ресурсов на производство
Запасы ресурсов
П1
П2
ПЗ
П4
Труба нержавеющей стали, кг
122,28
8.06
5,48
7,54
19471
Лист нержавеющей стали, кг
2298,7
237,65
359,85
221,63
749909
Трудозатраты, нормо-час
304,71
145,27
87,7
131,93
167754
Оборудование, нормо-час
240
150
120
150
234780
Цена, тыс.руб.
338048
214564
200293
202568
Условно-переменные затраты на единицу, тыс.руб.
226594
162007
142429
151298
Общая сумма постоянных затрат, тыс.руб
58134000
Нижняя граница спроса, т.
22
67
17
Верхняя граница спроса, т.
50
195
90
Обозначим планируемое к производству количество продукции через х1, х2, х3. Задача называется задачей линейного программирования (ЗЛП) в стандартном виде. Тогда можно записать:
x10; x20; x30;
Решим задачу симплекс-методом.
Нахождение первого опорного допустимого плана.
Для того чтобы привести задачу к каноническому виду, введем в первое ограничение системы дополнительную неотрицательную переменную х4 – неиспользованный лист нержавеющей стали (кг.), во второе – х5 - неиспользованные трудозатраты(норма-час.); третье – х6 – неиспользованное оборудование (норма-час.). В результате получаем задачу:
x10; x20; x30; x40; x50; x60
Опорное решение х1 = 0, х2 = 0, х3 = 0,
Тогда х4 =749909 – остаток первого ресурса,
Х5 =167754– остаток второго ресурса,
Х6 =234780 – остаток третьего ресурса.
Экономический смысл заключается в том, что продукция не производится, ресурсы соответственно не расходуются. (F1)=0
При решении задачи получена следующая симплексная таблица
Ответ:
x3=1852,7 шт. -выпуск продукции 3
x4=43440,5 кг.- остаток неиспользованного ресурса 1
x6=8303,7 норма-час – остаток неиспользованного ресурса 3
х1=х2 – продукция 1 и 2 не выпускаются, ресурс 2 используется без остатка (х5).
F(x)=312947905,1 тыс. руб.
Производственная программа, предполагает выпуск 1852,7 шт. продукции 3 обеспечит максимальную выручку от реализации продукции, равную 312947905,1 тыс. руб.. При этом останутся неиспользованными
43440,5 кг. листа нержавеющей стали и 8303,7 норма-час оборудования.
Если для исходной ЗЛП можно составить другую ЗЛП и не решая ее найти оптимальное решение по оптимальному решению первой ЗЛП, то такое свойство называется двойственностью.
В первой симплексной таблице также имеются соответствующие оптимальному решению задачи значения переменных двойственной задачи, дающие ответ на ряд практически важных вопросов.
Чтобы рассчитанные ранее оценки ресурсов остались прежними, должны выполняться следующие условия:
Для данной задачи:
y1,y2,y30
В каноническом виде:
y1,y2,y3,y4,y5,y60
В соответствии со второй теоремой двойственности становим соответствие между переменными исходной и двойственной задач:
x1-y4
x2-y5
x3-y6
x4-y1
x5-y2
x6-y3
Оптимальные значения оценок ресурсов и дополнительных двойственных переменных находятся в последней строке симплекс-таблицы:
y1=0
y2=3086,2
y3=0
y4=152852,9
y5=187295,9
y6=0
Удалим в системе ограничений двойственной задачи переменные, равные 0:
y2=3086,2
y4=152852,9
y5=187295,9
Таким образом, оптимальное решение ДЗ:
y*=(0; 3086,2; 0; 152852,9; 187295,9; 0)
Исходя из первой теоремы двойственности:
F(x*)=f(y*)
F(x)=f(y)
Экономический анализ оптимального решения ДЗ:
1) основная базисная переменная ДЗ y2(x5)=3086,2
При увеличении ресурса 2 на 1 норма-час стоимость продукции увеличится на 3086,2 тыс. руб., а именно, продукция 3 увеличится на 0,02 шт., остаток ресурса 4 уменьшится на 2,9 кг и остаток ресурса 6 уменьшится на 1,6 норма-час. В стоимостном выражении: ΔF=4005,9 тыс,руб.
2)Основная небазисная/дополнительная базисная