Практическое применение теории массового обслуживания

Моделирование является мощным методом познания действительности. Моделирование явлений и процессов – это метод познания, в процессе которого используется вспомогательный искусственно созданный объект – модель, представленная в виде схем, алгоритмов, математических формул и т.п., которая, будучи аналогичной изучаемому объекту, отображает и воспроизводит в более простом виде свойства, взаимосвязи и отношения между его элементами. Модель в процессе познания позволяет получить новую информацию о самом объекте исследования.
Имитационное моделирование для решения сложных задач целесообразно применять при следующих условиях:
1) отсутствие аналитических методов решения задач;
2) существует полная уверенность в успешном создании имитационной модели, адекватно описывает исследуемую систему, наличие ...

ВВЕДЕНИЕ. 3
1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ 5
1.1. Определение модели, моделирования и системы. 5
1.2. Основные виды моделирования 9
2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 14
2.1. Сущность задач массового обслуживания 14
2.2. Характеристики основных элементов модели системы массового обслуживания 15
2.3. Классификация систем массового обслуживания. 19
3. ПРИМЕРЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТЕОРИИ СМО 22
3.1. Расчет функциональных характеристик для одноканальной СМО с отказами 22
3.2 Расчет функциональных характеристик для одноканальной СМО с ограниченным местом для ожидания 23
3.3. Расчет функциональных характеристик для многоканальной системы массового обслуживания с отказами 26
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 29
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ. 31

Залогом успешности развития любой составляющей общественной жизнедеятельности и общества в целом является аналитически прогностическая деятельность.
Чем больше она развита в научном, научно-теоретическом и особенно прикладном направлениях, тем степень реализации процессов развития отдельных сфер общественной жизнедеятельности и общества в целом значительно выше и более гарантированна.
Основным инструментарием аналитически-прогностической деятельности является моделирование.
Когда человек познает окружающий мир, он формирует свое представление о нем. Человек каждый день, даже не замечая этого, создает модели реальных объектов для познания чего-то нового и получения информации.
Для изучения свойств и взаимосвязей объектов (предметов, процессов и явлений) люди проводят различные исследования. Результаты этих исследований помогают определить и улучшить характеристики реальных предметов и процессов, лучше понять сущность явлений и приспособиться к ним или руководить ими, конструировать новые и модернизировать старые объекты. Моделирование помогает человеку принимать обоснованные решения и предвидеть последствия своей деятельности.
Большой класс систем, которые сложно изучить аналитическими способами, но хорошо изучаются методами статистического моделирования, сводится к системам массового обслуживания (СМО).
Поскольку внешние неконтролируемые воздействия со стороны окружающей деловой среды меняются в зависимости от различных факторов (политических, экономических, социальных, рыночных и т.п.), то желательно, чтобы структуры систем управления могли адаптироваться к ним, осуществляя свою реструктуризацию в соответствии с поставленной целью, динамикой изменения внешних факторов и имеющихся ограничений в каждый фиксированный момент времени. При этом особенности функционирования субъектов рынка могут описываться разными типами СМО, и цель высших менеджеров состоит в выборе такой структуры, которая позволила бы достичь наивысшей эффективности и качества работы банков.
Основная цель работы – исследовать практическое применение теории массового обслуживания.
Объект исследования – моделирование систем.
Предмет исследования - системы массового обслуживания.
Основные задачи работы:
• Определить понятие модели, моделирования и системы;
• Проанализировать основные виды моделирования;
• Определить сущность задач массового обслуживания;
• Исследовать характеристики основных элементов модели системы массового обслуживания;
• Определить классификацию систем массового обслуживания;
• Рассмотреть примеры практического использования теории СМО.

3) качественным, когда возможно лишь найти некоторые свойства решения.
Для компьютерного моделирования присуща реализация математического описания систем в виде программы для ЭВМ. Выделяют три вида компьютерного моделирования:
Численное моделирование - когда используют численные методы для расчетов по математическому описанию систем при заданных параметрах и начальных условиях;
Имитационное моделирование - когда на ЭВМ имитируется процесс функционирования системы;
Статистическое моделирование - когда на ЭВМ получают статистические данные о процессах, происходящих в системе, которую моделируем [2].
Опыт использования имитационного моделирования [2] показывает, что затраты времени на разработку даже простейшей модели достигают, как правило, 5-6 человеко-месяцев и оцениваются в 30 тыс. дол. Средняя стоимость разработки имитационных моделей составляет 100 тыс. дол., а соответствующий время- не менее 6-12 месяцев. Стоимость сложных имитационных моделей достигает 5 млн. дол..
2. Практические основы теории массового обслуживания
В повседневной жизни и в производственной деятельности широко распространенные системы, предназначенные для многократного решения однотипных задач. Процессы, которые при этом возникают, получили название процессов обслуживания, а системы - систем массового обслуживания (СМО). Основы теории систем массового обслуживания были заложены в трудах датского математика А.К. Эрланга и получили дальнейшее развитие в трудах многих отечественных и иностранных ученых.
2.1. Сущность задач массового обслуживания
Системы массового обслуживания - это такие системы, в которых в случайные моменты времени поступают заказы на обслуживание, при этом заказы, поступившие обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.
Примеры систем массового обслуживания [11]:
посты технического обслуживания автомобилей;
посты ремонта автомобилей;
персональные компьютеры, обслуживающие заказы, поступающие, или
требования на тех или иных задач;
станции технического обслуживания автомобилей;
аудиторские фирмы;
отделы налоговых инспекций, занимающихся приемом и проверкой текущей отчетности предприятий;
парикмахерские;
светофоры;
предприятия питания;
телефонные станции и т. д.
Иногда системы обслуживания имеют ограниченные возможности удовлетворение спроса и это приводит к образованию очередей. Задачи массового обслуживания рассматривают вопрос создания и функционирования очередей, которые возникают в повседневной жизни. Например, очереди самолетов, идущих на посадку, клиенты в ателье бытового обслуживания и т. очереди возникают вследствие того, что поток требований (клиентов) на обслуживание случайно и им нельзя управлять. Если количество устройств обслуживания достаточно большая, то очереди возникают редко, однако при этом неизбежны длительные простои оборудования. С другой стороны, если недостаточное количество устройств обслуживания, создаются очереди и возможны большие потери в результате ожидания. В задачах массового обслуживания часто необходимо определить, какое количество устройств массового обслуживания необходима, чтобы минимизировать суммарные потери, которые ожидаются от несвоевременного обслуживания и простоя оборудования.
2.2. Характеристики основных элементов модели системы массового обслуживания
Математическая модель системы массового обслуживания включает следующие элементы (рис. 2) [19]:
входной поток требований, поступающих на обслуживание;
очередь, состоящая из требований, которые ожидают обслуживания;
система обслуживания;
выходные потоки обслуженных, потерянных требований и требований, поступающих на повторное обслуживания;
характеристики качества системы;
механизм (дисциплина) обслуживания.
Рис. 2. Математическая модель системы массового обслуживания
К основным элементам модели массового обслуживания относят, в первую очередь, клиента (заказ на обслуживание) и сервис (обслуживающее устройство, прибор, средство обслуживания и т.п.).
Клиенты поступают в систему обслуживания из источника клиентов (источники требований). Иными словами, источник требований - это генератор клиентов.
Основной характеристикой источника требований является его мощность, которая может быть окончена и бесконечная. Источник конечной мощности ограничивает количество клиентов, поступающих на обслуживание (например, в компьютерном классе, что имеет N компьютеров, суммарное количество потенциальных заказов на их ремонт не превышает N). Источник бесконечной мощности всегда имеет клиентов достаточно (например, звонки, поступающие в телефонной сети) [18].
Входной поток требований определяет последовательность моментов поступления требований на обслуживание и отмечает количество таких требований в каждом очередном поступлении. Для описания входного потока нужно задать закон распределения вероятностей, управляющей последовательностью моментов поступления требований на обслуживания и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. Так, например, требования в библиотеке или в службе такси могут поступать в среднем каждые 4 минуты. При этом в условиях библиотеки каждый раз поступает единичное требование (клиенты приходят в библиотеку по одному), а в условиях службы такси могут поступать как единичные, так и групповые требования (пассажиры могут ездить по одному или с компанией).
Характеристикой потока требований является λ – интенсивность поступления заказов в систему, то есть среднее количество заказов, поступающих в систему в единицу времени.
Поток требований является регулярным, если заказы поступают в систему один за другом через равные промежутки времени. Например, поток требований на конвейер при разливе молока (с постоянной скоростью движения) является регулярным.
Поток требований называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока есть величина постоянная λ(t)=λ. Например, поток автомашин на светофоре не является стационарным в течение суток, однако его можно считать стационарным в часы пик [15-18].
Поток требований называется потоком без последствий, если для любых двух интервалов времени, которые не пересекаются, количество заказов, поступающих в системы в эти интервалы, не зависит от количества заказов, поступивших в другие промежутки времени. Например, поток пассажиров метро практически не имеет последствий.
Поток заказов называется ординарным, если события поступают по другу, а не группами. Например, поток поездов в метро является ординарным, а поток вагонов - неординарно.
Поток заказов называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарный, ординарный и не имеет последствий.
Очередь - ряд заказов, ожидающих обслуживания. различают две ее характеристики - длину (вместимость) и дисциплину очереди.
Длина очереди может быть закончена и бесконечная. Так, например, в компьютерном классе, имеющем N компьютеров, суммарное количество потенциальных заказов на их ремонт не превышает N, следовательно, очередь не может быть больше N-1.
Дисциплина очереди определяет принцип, согласно которому обслуживаются заказ в системе. Чаще всего используются дисциплины очереди, обусловлены следующими правилами [15]:
первым пришел - первый обслуживаешься;
пришел последним - обслуживаешься первым;
случайный отбор заказов;
подбор заказов по критерию приоритетности;
ограничения времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»).
Механизм обслуживания определяется продолжительностью процедур обслуживания (t) и количеством требований (μ), что обслужены в единицу времени.
Механизм обслуживания может состоять из нескольких приборов (каналов обслуживания). При этом эти приборы могут быть расположены параллельно (например, работает несколько касс в супермаркете), или последовательно (например, последовательная обработка деталей в цехе на токарном и фрезерном станках).
Тип времени обслуживания может быть как детерминированным, так и случайным. Так, например, обслуживание клиентов на предприятии питания считается завершенным, когда клиент (или группа клиентов) оставляют соответствующее заведение. Продолжительность времени обслуживания (t) зависит от запросов клиента (или группы клиентов) и является случайной величиной. Обработка однотипных деталей, например, на токарном станке некоторого цеха, характеризуется детерминированным временем обслуживания.
Выходной поток требований характеризуется интенсивностью μ - интенсивность обслуживания, то есть число требований, обслуженных за единицу времени, в течение которого прибор занят обслуживанием. Существует зависимость между временем обслуживания и интенсивностью обслуживания, которая выражается формулой [12-15]:
1) задачи анализа СМО - определение характеристик качества обслуживания в зависимости от параметров и свойств входящего потока требований, параметров и структуры системы обслуживания и дисциплины обслуживания;
2) задачи параметрического синтеза - определение параметров системы обслуживания при заданной структуре в зависимости от параметров и свойств потока требований, дисциплины и качества обслуживания;
3) задачи синтеза структуры системы с оптимизацией ее параметров таким образом, чтобы при заданных потоках, дисциплине и качеству обслуживания стоимость СМО была минимальной или были минимальными потери заказов при заданных потоках, дисциплине и стоимости системы [12].
2.3. Классификация систем массового обслуживания.
Системы массового обслуживания классифицируются по различным признаками. На рис. 3 изображена обобщенная схема классификации СМО по различным признакам [12].
Рис. 3. Классификация СМО
Классификация СМО по составу [12-15]:
одноканальные (с одним обслуживающим устройством);
многоканальные (с несколькими параллельными обслуживающими устройствами).
По составу обслуживающих устройств многоканальные СМО подразделяют на:
однофазные (если после прохождения одного обслуживающего устройства заказ считается обслужены);
многофазные (заказ должен последовательно пройти через несколько обслуживающих устройств).
Классификация по времени пребывания требования в системе до начала обслуживания:
с отказами (если заказ, поступивший к системе, не может быть обслуженных, он покидает систему. Например, звоня к приятелю, абонент услышал, что его номер занят, то есть, отказано в обслуживании и для дальнейшего разговора необходимо еще раз набрать номер, то есть еще раз подать заказ на обслуживание);
с ожиданием (заказ, поступившего в систему в момент, когда все каналы заняты, становится в очередь и ожидает обслуживания).
Ожидания может быть ограниченным и неограниченным. Ограничиваться ожидания может временем ожидания или длиной очереди.
3. Примеры практического использования теории СМО
3.1. Расчет функциональных характеристик для одноканальной СМО с отказами
Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания (ЕО) для мойки автомобилей. Автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, получает отказ в обслуживании.
Интенсивность потока автомобилей λ=1 (один автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания 1,8 ч.. Поток автомобилей и поток обслуживаний являются самыми простыми. Нужно:
1) определить значение относительной пропускной способности q;
2) определить значение абсолютной пропускной способности A;
3) определить значение вероятности отказа Pотк;
4) сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили подъезжали бы друг за другом без перерыва [16].
Определим интенсивность потока обслуживания по формуле :
Вычислим относительную пропускную способность. Вычисления можно вести по специальной формуле для одно канальных СМО с отказами:
Значение q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% автомобилей, которые подъезжают к мойке.
Определим абсолютную пропускную способность по формуле:
Это означает, что система способна осуществить в среднем 0,356 обслуживание автомобилей в час.
Вычислим вероятность отказа в обслуживании:
Это означает, что около 65% автомобилей, которые прибудут на мойку, получат отказ в обслуживании.
Определим номинальную пропускную способность системы:
Оказывается, что Aном в 1,5 раза больше, чем фактическая пропускная способность, рассчитанная с учетом случайного характера потока заказов и времени обслуживания.
3.2 Расчет функциональных характеристик для одноканальной СМО с ограниченным местом для ожидания
Специализированный кабинет городской больницы, который проводит полное медицинское обследование, представляет собой одноканальную СМО. Число мест для лиц, ожидающих проведения диагностики, ограничено и равно 3. Если все эти места заняты, то есть, в очереди уже находятся три пациента, то очередное лицо, прибывшее на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток пациентов, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность 0,85 человек в час. Время диагностики распределено по показательному закону и в среднем равна 1,05 часа.
Нужно определить вероятностные характеристики специализированного кабинета диагностики, который работает в стационарном режиме [17].
Найдем интенсивность обслуживания по формуле:
Вычислим сводную интенсивность обслуживания по формуле:
Рассчитаем предельные вероятности системы по формулам:
Найдем вероятность отказа в обслуживании по формуле:
Вычислим относительную пропускную способность кабинета диагностики по формуле:
Рассчитаем абсолютную пропускную способность кабинета диагностики по формуле:
Вычислим среднее число лиц, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания) по формуле:
Найдем среднее время пребывания пациента в системе по формуле:
Рассчитаем среднюю продолжительность пребывания заказ в очереди на обслуживание по формуле:
Вычислим среднее число заказов в очереди (длину очереди) по формуле:
Работу рассматриваемого специализированного кабинета диагностики можно считать удовлетворительной, так как обслуживание пациентов не осуществляется в среднем в 15, 8% случаев (Pотк=0,158).