ОБЛАСТЬ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СРЕДСТВ И МЕТОДОВ УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ В ЭТАПАХ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ»
Институт управления и экономики направление 080100.62
Кафедра: «Экономика и управление организациями»
Дисциплина: «Эконометрика»
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
к курсовому проекту

РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ

По территориям региона приводятся данные за 2014 год. Требуется:
1. Построить линейное уравнение парной регрессии y от x.
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.
4. Выполнить прогноз заработной платы y при прогнозном значении среднедушевого ...

ВВЕДЕНИЕ 4
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 6
ОБЛАСТЬ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СРЕДСТВ И МЕТОДОВ УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ В ЭТАПАХ 6
РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ 25
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 41
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 43

В условиях обострения конкуренции одним из важных факторов роста эффективности производства является повышение качества продукции. Соответственно, производителю необходимо не просто заявлять о качестве изготовленной продукции, но и поддерживать ее на должном уровне. Одним из важных элементов системы управления качеством является контроль качества продукции, позволяет определить момент выхода процесса производства «из-под контроля »и выпуска продукции с нестабильным качеством, с одновременным принятием необходимых решение для корректировки процесса производства.

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 1.47 x + 15.96
Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.
Коэффициент регрессии b = 1.47 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 1.47.
Коэффициент a = 15.96 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.
Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.
Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.
Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая.
1.6. Коэффициент детерминации.
Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.
Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.
R2= 0.6812 = 0.4641
т.е. в 46.41 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - средняя. Остальные 53.59 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).
Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 2)
x
y
y(x)
(yi-ycp)2
(y-y(x))2
(xi-xcp)2
92
153
150.79
232.56
4.9
142.01
102
164
165.44
18.06
2.08
3.67
95
180
155.18
138.06
615.91
79.51
112
188
180.1
390.06
62.47
65.34
107
170
172.77
3.06
7.67
9.51
97
196
158.11
770.06
1435.39
47.84
93
138
152.25
915.06
203.1
119.17
116
187
185.96
351.56
1.08
146.01
88
107
144.92
3751.56
1438.21
253.34
114
189
183.03
430.56
35.67
101.67
101
156
163.98
150.06
63.61
8.51
130
191
206.48
517.56
239.5
680.34
1247
2019
2019
7668.25
4109.59
1656.92
2. Оценка параметров уравнения регрессии.
2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:
S2 = 410.959 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).
S = 20.27 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).
Sa - стандартное отклонение случайной величины a.
Sb - стандартное отклонение случайной величины b.
2.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной.
Экономическое прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения. Для прогнозирования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов.
Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя.
(a + bxp ± ε)
где
tкрит (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и Xp = 107
Вычислим ошибку прогноза для уравнения y = bx + a
y(107) = 1.466*107 + 15.958 = 172.769
172.769 ± 13.48
(159.29;186.25)
С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.
Вычислим ошибку прогноза для уравнения y = bx + a + ε
(125.63;219.9)
Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.
(a + bxi ± ε)
где
tкрит (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228
xi
y = 15.96 + 1.47xi
εi
ymin = y - εi
ymax = y + εi
92
150.79
48.83
101.95
199.62
102
165.44
47.06
118.38
212.5
95
155.18
48.04
107.14
203.22
112
180.1
47.86
132.24
227.95
107
172.77
47.13
125.63
219.9
97
158.11
47.63
110.48
205.75
93
152.25
48.55
103.71
200.8
116
185.96
48.89
137.07
234.84
88
144.92
50.22
94.71
195.14
114
183.03
48.32
134.7
231.35
101
163.98
47.12
116.85
211.1

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.
2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
С помощью МНК мы получили лишь оценки параметров уравнения регрессии, которые характерны для конкретного статистического наблюдения (конкретного набора значений x и y).
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля.
Чтобы проверить, значимы ли параметры, т.е. значимо ли они отличаются от нуля для генеральной совокупности используют статистические методы проверки гипотез.
В качестве основной (нулевой) гипотезы выдвигают гипотезу о незначимом отличии от нуля параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности. Наряду с основной (проверяемой) гипотезой выдвигают альтернативную (конкурирующую) гипотезу о неравенстве нулю параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности.
Проверим гипотезу H0 о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H1 не равно) на уровне значимости α=0.05.
H0: b = 0, то есть между переменными x и y отсутствует линейная взаимосвязь в генеральной совокупности;
H1: b ≠ 0, то есть между переменными x и y есть линейная взаимосвязь в генеральной совокупности.
В случае если основная гипотеза окажется неверной, мы принимаем альтернативную. Для проверки этой гипотезы используется t-критерий Стьюдента.
Найденное по данным наблюдений значение t-критерия (его еще называют наблюдаемым или фактическим) сравнивается с табличным (критическим) значением, определяемым по таблицам распределения Стьюдента (которые обычно приводятся в конце учебников и практикумов по статистике или эконометрике).
Табличное значение определяется в зависимости от уровня значимости (α) и числа степеней свободы, которое в случае линейной парной регрессии равно (n-2), n-число наблюдений.
Если фактическое значение t-критерия больше табличного (по модулю), то основную гипотезу отвергают и считают, что с вероятностью (1-α) параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности значимо отличается от нуля.
Если фактическое значение t-критерия меньше табличного (по модулю), то нет оснований отвергать основную гипотезу, т.е. параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности незначимо отличается от нуля при уровне значимости α.
tкрит (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228
Отметим значения на числовой оси.
Отклонение H0, принятие H1
Принятие H0
Отклонение H0, принятие H1
2.5%
95%
2.5%
-2.228 2.228
2.94
Поскольку 2.94 > 2.228, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).
Поскольку 0.31 < 2.228, то статистическая значимость коэффициента регрессии a не подтверждается (принимаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента). Это означает, что в данном случае коэффициентом a можно пренебречь.
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:
(b - tкрит Sb; b + tкрит Sb)
(1.47 - 2.228 • 0.5; 1.47 + 2.228 • 0.5)
(0.356;2.575)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.
(a - tкрит Sa; a + tкрит Sa)
(15.958 - 2.228 • 52.08; 15.958 + 2.228 • 52.08)
(-100.082;131.998)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.
Так как точка 0 (ноль) лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента a статистически незначима.
2) F-статистика. Критерий Фишера.
Коэффициент детерминации R2 используется для проверки существенности уравнения линейной регрессии в целом.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.
где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H0: R2=0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:
где m=1 для парной регрессии.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
Fтабл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=10, Fтабл = 4.96
Отметим значения на числовой оси.
Принятие H0
Отклонение H0, принятие H1
95%
5%
4.96
8.66
Поскольку фактическое значение F > Fтабл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).
Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством:
Дисперсионный анализ.
При анализе качества модели регрессии используется теорема о разложении дисперсии, согласно которой общая дисперсия результативного признака может быть разложена на две составляющие – объясненную и необъясненную уравнением регрессии дисперсии.
Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:
∑(yi - ycp)2 = ∑(y(x) - ycp)2 + ∑(y - y(x))2
где
∑(yi - ycp)2 - общая сумма квадратов отклонений;
∑(y(x) - ycp)2 - сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);
∑(y - y(x))2 - остаточная сумма квадратов отклонений.

Источник вариации
Сумма квадратов
Число степеней свободы
Дисперсия на 1 степень свободы
F-критерий
Модель (объясненная)
1
8.66
Остаточная
4109.59
10
410.96
1
Общая
7668.25
12-1



Обнаружение автокорреляции
Коэффициент автокорреляции.
Если коэффициент автокорреляции rei < 0.5, то есть основания утверждать, что автокорреляция отсутствует.
Для определения степени автокорреляции вычислим коэффициент автокорреляции и проверим его значимость при помощи критерия стандартной ошибки. Стандартная ошибка коэффициента корреляции рассчитывается по формуле:
Коэффициенты автокорреляции случайных данных должны обладать выборочным распределением, приближающимся к нормальному с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, равным
Если коэффициент автокорреляции первого порядка r1 находится в интервале:
-2.228 • 0.289 < r1 < 2.228 • 0.289
то можно считать, что данные не показывают наличие автокорреляции первого порядка.
Используя расчетную таблицу, получаем:
Так как -0.643 < r1 = -0.174 < 0.643, то свойство независимости остатков выполняется. Автокорреляции отсутствует.
3. Критерий Дарбина-Уотсона.
Этот критерий является наиболее известным для обнаружения автокорреляции.
При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки: условия статистической независимости отклонений между собой. При этом проверяется некоррелированность соседних величин ei.
y
y(x)
ei = y-y(x)
e2
(ei - ei-1)2
153
150.79
2.21
4.9
164
165.44
-1.44
2.08
13.36
180
155.18
24.82
615.91
689.52
188
180.1
7.9
62.47
286.08
170
172.77
-2.77
7.67
113.9
196
158.11
37.89
1435.39
1652.85
138
152.25
-14.25
203.1
2718.36
187
185.96
1.04
1.08
233.87
107
144.92
-37.92
1438.21
1518.3
189
183.03
5.97
35.67
1926.89
156
163.98
-7.98
63.61
194.55
191
206.48