Минимальное свойство круга

«Круг - первая, наиболее простая и наиболее совершенная фигура» - Прокл.

Все мельчайшие составляющие вокруг нас – атомы и молекулы – имеют круглую форму. Солнце круглое, Луна круглая, наша планета тоже круглая. Можно сказать, что круг - одна из немногих геометрических фигур, которая существует объективно. Издавна круг – это знак бесконечной линии, который символизирует время и вечность. Одна из простейших геометрических фигур – круг, он обладает рядом замечательных свойств, в частности, следующим: ограничивающая круг окружность имеет минимальную длину среди «периметров» всех фигур той же площади, что и круг. Это одна из экстремальных задач. Экстремальные задачи - задачи на максимум и минимум - во все времена привлекали внимание ученых. Попытки решить ту или иную экстремальную задачу приводили к возникновению новых теорий, а иногда и целых направлений в математике. Создать познать и решить все такие задачи невозможно, но можно познакомиться и осознать некоторые из них.

В курсовой речь пойдёт прежде всего об «основных изопериметрических свойствах» круга. А именно, о свойстве круга определять наименьшую длину кривой при заданной площади. При доказательствах используется известный математикам метод Штейнера, описанный в уникальной книге Вильгельма Бляшке «Круг и шар». В этой книге можно найти самое полное изложение и обосновании теории о минимальном свойстве круга.

Целью исследования является поиск, изучение и обобщение знаний о минимальном свойстве круга.

Для реализации поставленной цели сформулируем основные задачи исследования:

Рассмотреть четырехшарнирный метод Штейнера.

Изложить доказательство теоремы о минимальном свойстве круга и следствия из теоремы.

Познакомиться с понятием «минимальная охватывающая окружность».

Описать некоторые изопериметрические задачи.

Основным методом исследования является анализ научной, учебной, математической литературы по заявленной теме.

Работа носит теоретический характер и будет интересна людям, увлекающимся математикой и геометрическими свойствами фигур.

1 Немного истории

В древности минимальным свойством круга занимался грек Зенодор. Интересовался этой темой и Архимед. Другие ссылки на древнюю историю об этом вопросе можно найти в заметке В. Шмидта «Об истории изопериметрии в древности» [11].

К моменту изобретения общего вариационного исчисления ведущие ученые уже занимались частными изопериметрическими задачами и их ближайшими аналитическими обобщениями. Здесь, прежде всего, заслуживают упоминания Яков Бернулли (Jakob Bernoulli, Acta eruditorum. май 1697) и его брат Иоганн; при этом между двумя братьями возник ожесточенный и в высшей степени неприятный спор о приоритете.

...

2 Четырехшарнирный метод Штейнера

О проблеме, которую решил Штейнера. Рассматриваемая в ней величина есть сумма трех расстояний, и эта последняя зависит от положения точки непрерывно. Хотя область, в которой может двигаться точка, есть вся плоскость, мы можем без ограничения общности провести окружность большого радиуса (включающую весь рисунок) и подчинить точку условию находиться внутри этой окружности или на ней самой. В самом деле, если движущаяся точка будет находиться достаточно далеко от вершин треугольника, сумма трех расстояний от сторон наверняка превысит AB + AC, а последняя величина принадлежит к числу подлежащих сравнению значений нашей функции. Таким образом, если существует минимум для «ограниченной» проблемы (когда точка подчинена дополнительному ограничению), то существует минимум и для неограниченной проблемы. С другой стороны, множество, состоящее из точек внутри круга или на его границе, компактно. Итак, существование минимума в случае проблемы Штейнера доказано.

...

4 Изопериметрические свойства круга: следствия из теоремы

Изопериметрические свойства круга можно изучить по интереснейшим книгам математиков и геометров – Бляшке В., Астраков С., Крыжановский Д., Курант Р. и Риббинс Г., Протасов В., Пойя Д. и другие, указанные в списке в конце работы.

Например, Герхарда Томсена, которого сам Бляшке особенно высоко ценил. Его книга посвящена теории кругов и шаров, т. е. трем группам «круговых» (переводящих окружности в окружности) преобразований плоскости и «шаровых» преобразований пространства. В случае плоскости это следующие:

...

5 Минимальная охватывающая окружность

Рассмотрим пример. Дано конечное множество точек на плоскости. Нужно найти окружность минимального радиуса такую, чтобы данные точки были внутри неё. Существует функция, которая находит такую окружность

...

6 Изопериметрические задачи и их обобщения

Изопериметрическая проблема что среди всех замкнутых кривых данной длины именно окружность охватывает наибольшую площадь, — это один из «очевидных» фактов математики, строгое доказательство которых возможно только на основе метода Штейнера

...

7 Круг в жизни и природе (для не математиков и детей)

Солнце круглое, Луна круглая, наша планета тоже круглая. Форма круга является интересной с точки зрения оккультизма, магии и древних значений, придаваемых ей людьми. Все мельчайшие составляющие вокруг нас – атомы и молекулы – имеют круглую форму. Молекулы воды – основы всего живого – тоже имеют круглую форму. Даже природа создает свою жизнь в кругах. Например, можно вспомнить про птичье гнездо – птицы вьют его также в этой форме

...

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате нашего исследования поставленная цель - изучение и обобщение знаний о минимальном свойстве круга была достигнута. Поставленные задачи выполнены.

Практическая значимость работы: работа будет интересна людям, увлекающимся математикой и геометрическими свойствами фигур.

Возникли трудности в понятийном освоении темы, так как большинство источников – специальная литература для математиков.

...