Классические методы нахождение экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в замкнутой области. Решение с помощью пакета Math

Целью данной курсовой работы является разносторонний анализ использования задач линейного программирования на практике, а также закрепления навыков нахождения наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в замкнутой области.
Достижению поставленной цели способствуют решения таких задач, как:
1.Рассмотреть теоретические основы математического программирования;
2.Изучить и определить общей задачи оптимизации;
3.Овладеть навыками пакетами Mathcad и Microsoft Excel
4.Решить задачу графическим методом линейного программирования.
5.Найти наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в замкнутой области.
6.Закрепить полученные знания и навыки на практике и сделать выводы.
...

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
1 Теоретические основы математического программирования 5
1.1 Понятие оптимизации и ее общей задачи 5
1.2 Основные теоремы и задачи линейного программирования 7
1.3 Классические методы нахождения экстремума 12
2 Использование методов решения задач оптимизации в среде ЭТ Excel и пакета Mathcad 19
2.1 Графический метод решения задачи линейного программирования в среде ЭТ Excel с помощью надстройки «Поиск решения» 19
2.2 Решение задачи линейного программирования в среде пакета Mathcad графическим методом 25
2.3 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в замкнутой области 27
2.4 Реализация алгоритма нахождения наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в замкнутой области с помощью Mathcad пакета 34
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 38
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 39

Выбранная тема курсовой работы «Классические методы нахождение экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в замкнутой области. Решение с помощью пакета Mathcad» актуальна потому, что развитие таких разделов математики, как математическое программирование позволяет упростить решение конкретных задач, с помощью математических методов.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию. В пространстве Еп множество R1 можно рассматривать как пересечение полупространств (при п=2 полуплоскостей):(Ax)I ≥bi, i=1,m, xi ≥ 0, j=1,n. [2]Рассмотрим {с; х} = λ − семейство параллельных гиперплоскостей (при п=2 − параллельных прямых). Вектор с направлен в сторону убывания целевой функции. На рисунке 1 изображен случай, когда множество ограничено, т.е. многоугольник. [4]Рисунок 1 − Геометрическая интерпретация графического методаРассмотрим некоторую точку хо∈R1. Ей соответствует значение целевой функции:λо = {с; х0}, [4]Теперь будем перемещать прямую {с; х} = λ в направлении − с, то есть в направлении убывания величины λ, до тех пор, пока не придем в такую точку х≠∈R1, для которой значение λ минимально. Геометрический смысл задачи здесь очевиден.Легко изобразить на чертеже, когда:1.Неограниченно, но решение существует;2.Когда решение существует, но не единственно;3.Когда R1 неограниченно и {с, х} неограничен на R1.Сформулируем, во-первых, теорему, которая в отдельном доказательстве не нуждается.Будем обозначать функцию Лагранжа для задачи так:L1(x, y) = (c, х) + (у.b-Ах), [5]Рассмотрим теорему. Для того чтобы точка x≠∈R1 была оптимальной для основной задачи линейного программирования, необходимо и достаточно существования у* ≥ 0 такого, чтобы пара х* у* была седловой точкой функции Лагранжа L1(x, y) в области х ≥ 0, у ≥ 0, то есть:L1(x*, y) ≤ L1 (х*, у*) ≤ L1 (х, у*), [5]Необходимым и достаточным условием оптимальности х* для задачи является следующее представление вектора с:-c=-i∈Ix*yi*ai -j∈Jx*vj*ej , у*≥0, vj*≥0Где:I (х*) = (i: (Aх*)i =bi),J (х*) = (j: хi*= 0).Для х* выполняются следующие равенства:xi*c-Aтy*i=0, i=1,nyi*(b-Ax*)j=0, j=1,mТеорема. Для любых допустимых х∈R1 и y∈Q1 выполняется неравенство:(с, х) ≥ (b, y), [5]Доказательство: из неравенств, определяющих R1 и Q1 следует(с, х) ≥ (Ату, х) = (уAх) ≥ (уb) = (bу), [5]Теорема. Если х∈R1 и y∈Q1, а (с, х*) = (b, у*), то х* и у* оптимальны.Доказательство. Для любого х ∈R1 в силу условия, теоремы будет:(c, x) ≥ (b, y*) = (c, x*), [5]То есть, х* оптимален. Аналогично доказывается оптимальность у*.1.3 Классические методы нахождения экстремумаОпределение максимума. Если смысл функции f(х) в точке х0 более, нежели ее значения во всех точках некого промежутка, содержащего точку х0, то функция f(х) в точке х0 имеет локальный максимум (maximum). То имеется, при х=х0 функция f(х) имеет максимум, если f(х0+Δх) всех Δх (положительных и отрицательных), довольно небольших по абсолютной величине. По-иному, это определение определяют следующим образом: функция f(x) владеет максимум в точке х0, если разрешено отыскать эту окрестность δ точки х0, будто для всех точек данной окрестности, отличных от х0 выполняется неравенство f(х) <f(х0).Так, например, функция у =f(х), график которой изображен на рисунке 2, имеет локальный максимум при х = х1.Определение минимума. Функция f(х) имеет локальный минимум (minimum) при х = х0, если f(x0+Δх) <f(х0) при любых Δх – как положительных, так и отрицательных, – достаточно малых по абсолютной величине.Экстремумами или экстремальными значениями функции называют максимумы и минимумы функции. [6]Следует направить интерес, в связи с определениями максимума и минимума, на следующие обстоятельства:1. Лишь при значениях х, заключенных внутри рассматриваемого отрезка, функция, конкретная на отрезке, может достигать максимума и минимума;2. Никак не следует мыслить, будто максимум и минимум функции считаются, соответственно, ее наибольшим и наименьшим значениями на осматриваемом отрезке. В точке локального максимума функция владеет величайшее значение только по сопоставлению с теми значениями, которые она владеет во всех точках, довольно недалёких к точке максимума, а в точке локального минимума – наименьшее значение только по сравнению с теми значениями, которые она владеет во всех точках, довольно недалёких к точке минимума;3. Имеется немало локальных экстремумов у функции. Имеется лишь один метод для нахождения глобальных экстремумов: отыскать все локальные, сопоставить их и избрать наибольшее и наименьшее значения.ax1bx4x2x5x3yxy=f(x)ax1bx4x2x5x3yxy=f(x)Рисунок 2 − График функции y=f(x) на отрезке [а, b]Так, на рисунке 2 изображена функция, определенная на отрезке [а, b], котораяпри х=х2 и х=х4 имеет минимум, при х = х1 и х = х3 имеет максимум, однако минимум функции около х=х4 превыше максимума функции при х=х1. При х=b значение функции больше хоть какого максимума функции в осматриваемом отрезке.Необходимое условие существования экстремума. Если дифференцируемая функция у = f(х) имеет в точке х = x0 максимум или минимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т. е. f/ (х0) = 0. Следующий очевидный геометрический факт соответствует приведенному условию: касательная к кривой у = f(х) в этих точках параллельна оси Ох, если в точках максимума и минимума функция f(х) имеет производную. Действительно, из того, что f/(х0) = tgφ = 0, где φ – угол между касательной и осью Ох, следует, что φ=0. [6]При всех осматриваемых значениях аргумента х функция f(х) имеет производную, если она может иметь экстремум (максимум либо минимум) лишь при значениях, когда производная обращается в ноль. [6]Обратное заключение никак не выполняется: не при каждом значении, при котором производная обращается в ноль, непременно есть максимум либо минимум. Был рассмотрен тот вариант, когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную. Где производная не существует, продемонстрировано на примере. В таких точках может существовать либо максимум, либо минимум, а может и не существовать ни того, ни другого.Пример 1. Функция у = |х| не имеет производной в точке х = 0 (в этой точке кривая не имеет определенной касательной), но в этой точке данная функция имеет минимум: у=0 при х=0, тогда как для всякой точки х, отличной от нуля, имеем у> 0, как видно на рисунке 3.y=|x|0xyy=|x|0xyРисунок 3 − График функции у = |х|Пример 2. Функция y=∛x не имеет производной при х=0 (у/→∞ при х→0). В этой точке функция не имеет ни максимум ни минимума: f(0) =0; f(x) <0 для х <0; f(x) >0 для х >0, как представлено на рисунке 4.y0xy=∛xy0xy=∛xРисунок 4 − График функции y=∛xТаким образом, функция имеет возможность иметь экстремум только в 2-х вариантах: или в тех точках, в каком месте производная не существует; или в тех точках, в каком месте производная есть и равна нулю.Значения аргумента, при которых производная f/(x) оборачивается в ноль либо выдерживает разрыв, именуются критическими точками первого порядка либо критическими значениями.Из последнего видно, что не при каждом критическом значении функция владеет максимум либо минимум. Но, точка безусловно считается критической, ежели в любой точке, функция достигает максимума либо минимума. Поэтому для разыскания экстремумов функции поступают последующим образом: отыскивают все критические точки, а потом, изучая раздельно любую критическую точку, узнают, будет ли в данной точке максимум либо минимум функции, либо же не станет ни максимума, ни минимума.Изучение функции в критических точках базируется в последующие достаточные условия.Достаточные условия существования экстремума. Пусть функция f(х) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку х0 и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки х0). Производная меняет знак с плюса на минус и при х = х0 функция имеет максимум, если при переходе слева направо через эту точку.Функция имеет в этой точке минимум, если при переходе через точку х0 слева направо производная меняет знак с минуса на плюс. [7]Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной. На основании сказанного можно сформулировать следующий алгоритм для исследования дифференцируемой функции у =f(х) на максимум и минимум:1.Ищем первую производную функции, т. е. f/(х).2.Находим критические точки первого порядка; для этого:− приравниваем первую производную нулю и находим действительные корни полученного уравнения f/(х) = 0;− находим значения х, при которых производная f/(х) терпит разрыв.3.Изучаем знак производной слева и справа с критических точек. Так как знак производной остается неизменным в промежутке среди 2-мя критическими точками, то для изучения знака производной слева и справа, к примеру, с критической точки х0 довольно найти знак производной в точках х <x0 и х> x0.4.Вычисляем значение функции f(х) при любом критическом значении аргумента, при переходе которого производная заменяет собственный знак, обретая экстремальные значения. [7]Пример:Исследуем на экстремум функцию y=(x-1)∛x2 c помощью первой производной. Для этого произведем следующие расчеты:1.Находим первую производную:y'=[x-1×x23 ]x'=3x2+2(x-1)33x=5x33x2.Находим критические значения аргумента:− точки, в которых первая производная обращается в нуль:y'=05x-233x=0x1=25− точки, в которых производная терпит разрыв (не существует). Такой точкой будет, очевидно, точка х2=0. При этом значении аргумента х сама исследуемая функция определена и непрерывна.3.Исследуем характер полученных критических точек:− исследуем первую критическую точку x1=25Так, как yx<25'<0, yx<25'>0, то заключаем, что при x1=25 функция имеет минимум.− исследуем вторую критическую точку х2=0. Заметим, что:yx<25'<0, yx<25'>0.Из произведенных расчётов можно сделать вывод, что при х2=0 функция имеет максимум.Значение функции при x1=25 в точке минимума равно, а в точке максимума, при х2=0, ymax=04.На рисунке 5 изображен график исследуемой функции:y0x2/5y=(x-1)∛x2y0x2/5y=(x-1)∛x2Рисунок 5 − График функции y=(x-1)∛x22. Использование методов решения задач оптимизации в среде ЭТ Excel и пакета Mathcad2.1 Графический метод решения задачи линейного программирования в среде ЭТ Excel с помощью надстройки «Поиск решения»Microsoft Excel считается широко распространенной компьютерной программой, с помощью которой изготавливаются расчеты, оформляются таблицы и диаграммы, рассчитываются обыкновенные и трудные функции.По своей сущности Microsoft Excel – крупная таблица, предназначенная для внесения в нее данных. Фактически всевозможные манипуляции с цифрами позволяют проводить функции программы. Главным средством, которая используется для обработки и разбора числовой информации с помощью средств вычислительной техники считается электронная таблица. [9]Microsoft Excel позволяет осуществлять трудные подсчеты. Сразу разрешено оперировать данными, которые размещаются в различных зонах электронной таблицы и при этом связаны конкретной зависимостью в процессе вычисления. Благодаря способности введения разных формул в ячейки таблицы осуществляется исполнение таких расчетов. После выполнения вычисления итог станет отражаться в ячейке с формулой. В доступном спектре формул находятся различные функции – от сложения и вычитания до вычислений, связанных с финансами либо статистикой. [9]Автоматический пересчет итогов, если меняются значения ячеек, является принципиальной особенность использования электронной таблицы. Excel может использоваться при выполнении денежных расчетов, учете и контроле кадрового состава той либо другой организации, в построении и обновлении графиков, которые базируются на введенных количествах.Файл, с которым подразумевает работу Excel, именуется книгой. Она включает в себя некоторое количество рабочих листов, в которых имеют все шансы содержаться самые различные данные, начиная от таблиц и текстов изавершая диаграммами и рисунками. Microsoft Excel рассчитан на помощь и внедрение XML-форматов, а еще может раскрывать такие форматы, как CSV, DBF, SYLK, DIF.Далее мы подробно рассмотрим графический метод решения метод решения в среде Microsoft Excel.В геометрической интерпретации задачи линейного программирования базируется графический метод решения задачи линейного программирования и используется в основном при выводе задач двумерного пространства и лишь некоторых задач трёхмерного пространства, так как достаточно тяжело выстроить многогранник решений, который появляется в итоге пересечения полупространств. Задачу пространства размерности более 3-х изобразить графически вообще нереально. [8]Графический способ достаточно несложен и нагляден. Он базируется в геометрическом представлении возможных выводов задачи. Любое из неравенств задачи ЛП описывает на координатной плоскости (х1, х2) некую полуплоскость, а система неравенств в цельном − пересечение подобных плоскостей. Зоной возможных решений (ОДР) именуется множество точек пересечения данных полуплоскостей. Выпуклую фигуру постоянно представляет собой ОДР, то есть владеющую последующим признаком: если 2 точки А и B относятся данной фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР схематически может быть презентован выпуклым многоугольником, неограниченным выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучом и так далее. В случае несовместности системы ограничений задачи ОДР считается пустым множеством.При отыскивании оптимального решения задач линейного программирования вероятны последующие ситуации: есть единственное решение задачи, есть нескончаемое множество решений (альтернативный оптимум); область допустимых решений - единственная точка; задача не имеет решений.Графический способ решения ЗЛП складывается из последующих шагов:1.Основывается многоугольная область допустимых решений ЗЛП – ОДР;2.Основывается вектор-градиент ЦФ в какой-нибудь точке Х0 присущей ОДР:=(С1,С2), [8]3.Линия уровня C1x1+C2x2 = а (а–постоянная величина) - прямая, перпендикулярная вектору – градиенту – передвигается в направлении этого вектора в случае максимизации F (x1, x2) до тех пор, пока не покинет пределов ОДР. Предельная точка (или точки) области при этом движении и является точкой максимума F (x1, x2).4.Для нахождения ее координат достаточно решить два уравнения прямых, получаемых из соответствующих ограничений и дающих в пересечении точку максимума. Значение F (x1 x2), найденное в получаемой точке, является максимальным. [8]При минимизации F (x1, x2) линия уровня перемещается в направлении, противоположном вектору-градиенту. Если прямая при своем движении не покидает ОДР, то соответствующий максимум или минимум F (x1, x2) не существует.Если линия уровня параллельна какому-либо функциональному ограничению задачи, то оптимальное значение ЦФ будет достигаться в любой точке этого ограничения, лежащей между двумя оптимальными угловыми точками, и, соответственно, любая из этих точек является оптимальным решением ЗЛП. Рассмотрим графическое решение задач линейного программирования на следующем примере.Намечается выпуск двух видов костюмов – мужских и женских. На женский костюм требуется 1 м шерсти, 2 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. На мужской костюм – 3,5 м шерсти, 0,5 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. Всего имеется 350 м шерсти, 240 м лавсана и 150 человеко-дней трудозатрат. Требуется определить, сколько костюмов каждого вида необходимо сшить, чтобы обеспечить максимальную прибыль. При этом прибыль от реализации женского костюма составляет 10 денежных единиц, а мужского – 20 денежных единиц. При этом следует иметь в виду, что необходимо сшить не менее 60 мужских костюмов.Задачу решим графическими и аналитическими методами. Составим математическую модель задачи.1.Пусть x1 – количество мужских костюмов, x2 – количество женских костюмов.2.Введем целевую функцию F (x1, x2) = 10 x1+ 20 x2, которую необходимо максимизировать.3.Ограничения.3.1.Ограничения по материалу(шерсть):1x1+ 3,5 x2 ≤ 350.3.2.Ограничение по материалу (лавсан):2x1 +0,5х2≤ 2403.3.Ограничение по человеко-день:x1+х2 ≥ 1503.4.Ограничение по мужским костюмам:х2 ≥603.5Условие не отрицательности:х1, х2 ≥03.6.Условие целочисленности:х1, х2 – целоеТаким образом, задача заключается в следующем: максимизировать целевую функциюF (x1, x2) = 10 x1+ 20 x2→ max, при ограничениях:1x1+ 3,5 x2 ≤ 3500,2x1 +0,5х2≤ 240,х2 ≥60,х1, х2 ≥0,х1, х2 – целое.Пример решения данной задачи линейного программирования в пакете Microsoft Excel представлен на рисунках 6-8.Рисунок 6 – Excel-документ расчета ЗЛП графическим методомРисунок 7 − Excel-документ расчета ЗЛП графическим методомРисунок 8 − Excel-документ расчета ЗЛП графическим методом.Как видно из произведенных расчётов, чтобы обеспечить максимальную прибыль необходимо сшить мужских костюмов – 90 штук, женских – 60 штук. Решение данной задачи графическим методом в Microsoft Excel является полезным и практичным способом для нахождения нужных результатов.2.2 Решение задачи линейного программирования в среде пакета Mathcad графическим методом«Mathcad» считается особым программным продуктом, дозволяющим проводить различные технические и научные подсчеты, простой арифметики и завершая реализациями трудных численных способов. «Mathcad» – обычный представитель класса PSE – приложений с точки зрения систематизации программного снабжения. Учащиеся, эксперты, инженеры, различные тех. специалисты и все, кому приходится проводить математические подсчеты – это пользователи «Mathcad». [10]Благодаря несложности применения, наглядности математических операций, широкой библиотеке встроенных функций и численных способов, возможности символьных вычислений, а еще отличному агрегату игры итогов «Mathcad» замерз более знаменитым математическим приложением. В состав «Mathcad» входят некоторое количество интегрированных между собой компонентов: − мощнейший текстовый редактор – дает возможность вводить, редактировать и форматировать как текст, так и математические формулировки; − вычислительный процессор − может проводить подсчеты по формулам, применяя встроенные численные методы; − символический процессор, позволяющий проводить вычисления и являющийся, практически, системой искусственного разума; − огромное кладовая справочной информации, как математической, так и технической, оформленной в черте интерактивной электронной книжки.