Исследования движения механизма

Условие задачи

Тонкостенный цилиндр 1 массой m = 4 кг и радиуса R = 0,3 м может катиться без проскальзывания и без отрыва по вращаемуся вокруг неподвижной горизонтальной оси О тонкостенному однородному цилиндру 2 радиуса r = 0,1 м и массой m2 = 2,5 кг как показано на рисунке. В цилиндре 2 закреплен однородный тонкий прямолинейный стержень BD массой m3 = 2 кг, проходящий через ось цилиндра 2 и перпендикулярно к ней. К цилиндру 2 приложен постоянный вращающий момент М = 6,25 Нм.
В начальный момент времени система находилась в покое, отрезок ОА был вертикален, причем точка А располагалась ниже точки О, стержень BD занимал горизонтальное положение. Для описывания механической системы требуется:
1. Составить уравнение Лагранжа 2-го рода.
2. Определить движение системы численными методами с помощью ЭВМ при указанных начальных условиях.
3. Исследовать движения описанного механизма. Установить, возможно ли при движении механической системы с другими начальными условиями сохранение неизменным положения точки А. Если такое движение возможно, то необходимо выписать соответствующие начальные условия и описать положение точки А.

Исследования движения механизма

Мгновенная ось вращения большого цилиндра находится в точке касания с малым цилиндром (это легко понять, если мысленно забить в эту точку гвоздь). Таким образом, момент его инерции, по теореме Гюйгенса-Штайнера, будет равен:
При повороте малого цилиндра происходит и поворот большого. Из-за наличия трения в системе, Линейная скорость точки на большом цилиндре будет равна линейной скорости точки на малом цилиндре (цилиндр катится без проскальзывания, как написано в условии). Т.е. скорость вращения большого цилиндра выражается через :
(4)
Теперь мы можем записать кинетическую энергию систему как функцию одной обобщенной координаты и одной скорости:
(5)
Теперь найдем обобщенную силу Q. Она складывается из работы приложенного момента М и работы силы тяжести.
Работа момента, приложенного к малому цилиндру, запишется так:
, т.е. даст вклад в обобщенную силу, равный М.
Теперь рассчитаем работу силы тяжести. При повороте малого цилиндра вместе со стержнем сила тяжести работу не совершает, т.к. центр тяжести этих тел – точка крепления, остается неподвижной. Зато, смещается центр тяжести большого цилиндра, т.к. мгновенная ось вращения проходит через точку касания цилиндров, а не через центр тяжести большого цилиндра – точку А.
рис.1 Движение точки А
При повороте малого цилиндра точка касания цилиндров поворачивается вместе с цилиндром на угол φ. Радиус большого цилиндра также поворачивается вокруг точки О. При этом центр тяжести движется вверх. Угол между горизонталью и отрезком A1A2 равен φ/2 (это легко видно из расчета равнобедренного треугольника ОA1A2), а сам A1A2 равен (R-r)sinφ. Таким образом, вертикальное смещение центра тяжести будет равно:
(6)
Работа силы тяжести (она же гравитационный потенциал) будет тогда выражаться следующим образом:
(7)
Чтобы найти обобщенную силу, соответствующую силе тяжести, продифференцируем (7) согласно формуле (2):
(8)
Заменив в последнем выражении φ на q и подставив (5) и (8) в (1) получаем итоговое уравнение Лагранжа 2-ого рода, описывающее движение нашей системы:
(9)

Численное решение
Запишем выражение (9) с учетом количественных значений величин, туда входящих:
(10)
Численное решение найдем при помощи пакета Waterloo Maple 9.5:
A:=diff(0.112*phi(t),t$2)-1.96*(sin(phi(t)/2)-3*sin(3*phi(t)/2))=6.25;
> with(DEtools):
DEplot(A,phi(t),t=0..10,[[phi(0)=0,D(phi)(0)=0]],stepsize=.01);
Рис.2 Движение системы при заданных параметрах и начальных условиях
Видно, что система имеет апериодическое движение. Это связано с слишком большим моментом сил, приложенным к малому цилиндру. Путем подбора удалось выяснить, что при M<3.55 система будет иметь периодическое движение:

рис. 3 Движение системы при M<3.55
Малый цилиндр совершает колебательные движения, причем стержень поворачивается практически до вертикального положения. Если момент сил чуть больше предельного значения, стержень доходит до вертикального положения и «опрокидывает» систему – движение становится апериодическим.