Статистическая оценка национального богатства Российской Федерации

Введение
Глава 1. Теоретические основы национального богатства
1.1. Национальное богатство и его состав
1.2. Основные фонды
1.3. Учет и оценка основных фондов
1.4. Балансы основных фондов
Глава 2. Расчетная часть
2.1. Построение уравнения тренда
2.2. Ошибка аппроксимации
2.3. Однофакторный дисперсионный анализ
2.4. Эмпирическое корреляционное отношение
2.5. Индекс детерминации
2.6. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда
2.7. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда
2.8. Проверка на наличие автокорреляции остатков
Глава 3. Анализ зависимости инвестиций от денежной массы
3.1. Уравнение регрессии
3.2. Параметры уравнения регрессии.
3.3. Ошибка аппроксимации.
3.4. Эмпирическое корреляционное отношение
3.5. Индекс детерминации
3.6. Значимость коэффициента корреляции
3.7. Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал)
3.8. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии
3.9. Доверительные интервалы для зависимой переменной.
3.10. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии
3.11. Дисперсионный анализ
Заключение
Список литературы

Статистическая оценка национального богатства Российской Федерации

2.6. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда
где m = 1 - количество влияющих факторов в модели тренда.
Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда
S b = 0.0987
Доверительные интервалы для зависимой переменной
По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tтабл (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 2
(13.56 20.98 - 2.228*0.58 ; 13.56 20.98 + 2.228*0.58)
(1525394.4;1525395.56)
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.
m = 1 - количество влияющих факторов в уравнении тренда.
где L - период упреждения; уn+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя; Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы, равного n-2.
2.7. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
Статистическая значимость коэффициента b подтверждается
Статистическая значимость коэффициента a подтверждается
Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95% будут следующими:
(b - tнабл Sb; b + tнабл Sb)
(0.98 - 2.228•0.0987; 0.98 + 2.228•0.0987)
(0.7637;1.2036)
(a - t набл S a; a + t набл S a)
(13.56 - 2.228•0.18; 13.56 + 2.228•0.18)
(13.1565;13.9553)
2) F-статистика. Критерий Фишера.
Fkp = 4.96
где m - количество факторов в уравнении тренда (m=1).
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации (и в целом уравнение тренда) статистически значим.
2.8. Проверка на наличие автокорреляции остатков
Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений от значений отклонений во всех других наблюдениях. Это гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями.
Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные ряды). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов и очень редко при использовании перекрестных данных.
Среди основных причин, вызывающих автокорреляцию, можно выделить следующие:
1. Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводят к системным отклонениям точек наблюдения от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.
2. Инерция. Многие экономические показатели (инфляция, безработица, ВНП и т.д.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Поэтому изменение показателей происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.
3. Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом).
4. Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его интервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может служить причиной автокорреляции.
Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности: выводы по t- и F-статистикам, определяющие значимость коэффициента регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными.
Обнаружение автокорреляции
При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки: условия статистической независимости отклонений между собой. При этом проверяется некоррелированность соседних величин ei.
Таблица 3. Анализ автокорреляции
y
y(x)
ei = y-y(x)
e2
(ei - ei-1)2
13.97
13.56
0.41
0.17
14.22
14.24
-0.0137
0.0002
0.18
14.38
14.64
-0.25
0.0647
0.058
14.6
14.92
-0.32
0.1
0.0045
14.87
15.14
-0.27
0.0734
0.0026
15.1
15.32
-0.22
0.0479
0.0027
15.37
15.47
-0.1
0.0101
0.014
15.72
15.6
0.12
0.0141
0.0481
15.99
15.72
0.27
0.0734
0.0232
15.89
15.82
0.071
0.005
0.0399
16.03
15.91
0.11
0.0132
0.0019
16.19
16
0.19
0.0371
0.0061



0.61
0.38
Для анализа коррелированности отклонений используют статистику Дарбина-Уотсона:
Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n = 12 и количества объясняющих переменных m=1.
Автокорреляция отсутствует, если выполняется следующее условие:
d1 < DW и d2 < DW < 4 - d2.
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Поскольку 1.5 > 0.6242 < 2.5, то автокорреляция остатков присутствует.
Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
По таблице Дарбина-Уотсона для n=12 и k=1 (уровень значимости 5%) находим: d1 = 1.08; d2 = 1.36.
Поскольку 1.08 < 0.6242 и 1.36 < 0.6242 < 4 - 1.36, то автокорреляция остатков присутствует.
Проверка наличия гетероскедастичности.
Присвоим ранги признаку ei и фактору X. Найдем сумму разности квадратов d2.
По формуле вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена.
Таблица 4. Анализ гетероскедастичности
X
ei
ранг X, dx
ранг ei, dy
(dx - dy)2
-0.41
1
1
0.69
0.0137
2
7
25
1.1
0.25
3
10
49
1.39
0.32
4
12
64
1.61
0.27
5
11
36
1.79
0.22
6
9
9
1.95
0.1
7
8
1
2.08
-0.12
8
4
16
2.2
-0.27
9
2
49
2.3
-0.071
10
6
16
2.4
-0.11
11
5
36
2.48
-0.19
12
3
81




382
Связь между признаком ei и фактором X слабая и обратная
Оценка коэффициента ранговой корреляции Спирмена.
Значимость коэффициента ранговой корреляции Спирмена
По таблице Стьюдента находим tтабл:
tтабл (n-m-1;α/2) = (10;0.05/2) = 2.228
Поскольку Tнабл < tтабл , то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - не значим.
Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).
Доверительный интервал для коэффициента ранговой корреляции
r(-0.9064;0.235)
Проверим гипотезу H0: гетероскедастичность отсутсвует.
Поскольку 2.228 > 1.13, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.
Глава 3. Анализ зависимости инвестиций от денежной массы
3.1. Уравнение регрессии
В таблице 5 приведены данные Росстата по денежной массе за 2005-2011 годы.
Таблица 5. Исходные данные
Год
Денежная масса (М2)
Инвестиции в основной капитал
2005
4353,9
3611109
2006
6032,1
4730022,9
2007
8970,7
6716222,4
2008
12869
8781616,4
2009
12975,9
7976012,8
2010
15267,6
9152096
2011
20011,9
10776838,7
Построим поле корреляции (рисунок 1).
Рисунок 1. Поле корреляции
Будем искать зависимость в показательной форме с помощью критерия МНК.
Таблица 6. Расчетная таблица
x
log(y)
x 2
y 2
x • y
y(x)
(yi-ycp) 2
(y-y(x))2
(xi-xcp)2
|y - yx|:y
4353.9
15.1
18956445.21
228
65741.82
15.27
0.43
0.0284
51028163.56
0.0112
6032.1
15.37
36386230.41
236.22
92710
15.38
0.15
0.000173
29868411.04
0.000856
8970.7
15.72
80473458.49
247.12
141019.73
15.58
0.001289
0.0187
6383707.56
0.008696
12869
15.99
165611161
255.62
205751.77
15.85
0.0539
0.0192
1881560.89
0.008665
12975.9
15.89
168373980.81
252.55
206212.34
15.86
0.0185
0.001226
2186257.96
0.002203
15267.6
16.03
233099609.76
256.94
244731.89
16.01
0.0748
0.000256
14215162.09
0.000999
20011.9
16.19
400476141.61
262.21
324050.89
16.34
0.19
0.0209
72498413.16
0.008933
80481.1
110.29
1103377027.29
1738.67
1280218.46
110.29
0.92
0.0888
178061676.26
0.0415
Формально критерий МНК можно записать так:
S = ∑(yi - y*i)2 → min
Система нормальных уравнений.
a•n + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x2 = ∑y•x
Для наших данных система уравнений имеет вид
7a + 80481.1 b = 110.29
80481.1 a + 1103377027.29 b = 1280218.46
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.0001, a = 14.97
Уравнение регрессии:
y = exp(14.97)*exp(0.0001)x = 3174154.07*1x
3.2. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.
Выборочные дисперсии:
Среднеквадратическое отклонение
3.3. Ошибка аппроксимации.
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:
Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.
Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.
3.4. Эмпирическое корреляционное отношение
Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1].
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 < η < 0.3: слабая;
0.3 < η < 0.5: умеренная;
0.5 < η < 0.7: заметная;
0.7 < η < 0.9: высокая;
0.9 < η < 1: весьма высокая;
где
Индекс корреляции.
Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.
Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y
Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:
Данный коэффициент является универсальным, так как отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. При построении однофакторной корреляционной модели коэффициент множественной корреляции равен коэффициенту парной корреляции rxy.
В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].
3.5. Индекс детерминации
т.е. в 90.34 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 9.66 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.
3.6. Значимость коэффициента корреляции
По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=5 находим tкрит:
tкрит (n-m-1;α/2) = (5;0.025) = 2.571
где m = 1 - количество объясняющих переменных.
Если tнабл > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим
В парной линейной регрессии t2r = t2b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.
3.7. Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал)
Доверительный интервал для коэффициента корреляции
r(0.8566;1.0443)
3.8. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:
S2y = 0.0178 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).
Sy = 0.13 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).
Sa - стандартное отклонение случайной величины a.
Sb - стандартное отклонение случайной величины b.
3.9. Доверительные интервалы для зависимой переменной.
Экономическое прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения. Для прогнозирования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов.
Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя.
(a + bxp ± ε)