Описать метод половинного деления и метод касательных. Провести сравнительный анализ.

Оглавление
Задание на курсовую работу
Введение
Глава 1. Теоретическая часть
Глава 2. Практическая часть
Заключение
Список литературы

Описать метод половинного деления и метод касательных. Провести сравнительный анализ.

Исходный интервал [a, b], на котором определена и непрерывна функция f(x), разбивается на n отрезков равной длины(x0, x1), (x1, x2), ..., (xn -1, xn),где x0 < x1< ...< xn и x0 = a, xn = b. Затем вычисляются значения функции f(xj) в точках xj (j =) и выбирается отрезок (xi, xi+1), на концах которого функция имеет разные знаки, т.е. f(xi)f(xi+1) < 0. Если длина этого отрезка достаточно мала (можно предположить единственность корня), то считается, что корень отделен на интервале [a, b], где a = xi, b = xi+1. В противном случае границы исходного интервала сдвигаются, т.е. a = xi, b = xi + 1, и процедура повторяется. Необходимо отметить, что длина исходного интервала [a, b], на котором определена функция f(x), может изменяться в широких пределах. Поэтому число отрезков n, а также длина искомого интервала [a, b] являются переменными величинами, которые должны задаваться в каждом конкретном случае с учетом физического смысла решаемой задачи.Когда ищутся только действительные корни уравнения, то полезно составить таблицу значений f(x). Если в двух соседних узлах таблицы функция имеет разные знаки, то между этими узлами лежит нечетное число корней уравнения (по меньшей мере, один). Если эти узлы близки, то, скорее всего, корень между ними только один. Но выявить по таблице корни чётной кратности (кратными корнями называются совпадающие по значению корни, например, известно, что уравнение y=x2 имеет корень x=0, но правильнее утверждать, что это уравнение имеет 2 кратных корня x1=0 и x2=0) сложно. По таблице можно построить график функции у=f(х) и графически найти точки его пересечения с осью абсцисс. Этот способ более нагляден и дает неплохие приближенные значения корней. Во многих задачах техники такая точность уже достаточна. В технике еще популярны графические методы решения уравнений (номография). Построение графика позволяет выявить даже корни чётной кратности.Иногда удается заменить уравнение (1) эквивалентным ему уравнением (х)=(х), в котором функции y1=(х) и y2=(х) имеют несложные графики. Например, уравнение хsinх-1=0 удобно преобразовать к виду sinx=l/x. Абсциссы точек пересечения этих графиков будут корнями исходного уравнения.На втором этапе решения нелинейных уравнений полученные приближенные значения корней уточняются различными итерационными методами до некоторой заданной погрешности. Наиболее эффективные методы уточнения корней уравнения рассмотрены ниже. Метод половинного деленияПри отыскании корня методом половинного деления сначала вычисляются значения функции в точках a и b - соответственно f(a) и f(b), имеющие противоположные знаки. Далее по формуле xср=(a+b)/2 вычисляется координата центра отрезка [a, b] и находится значение функции в этой точке f(xср). Оно сравнивается со значениями функции на концах отрезка. Если функция меняет знак на отрезке [a, xср], то весь отрезок [a, b] усекается до его левой части, то есть xср становится правой границей отрезка (b). Аналогично, если функция меняет знак на отрезке [xср, b], отрезок [a, b] усекается до правой части. Эти операции повторяются до тех пор, пока разница между соседними значениями x не станет меньше или равной выбранной точности e.Рис.1Достоинства метода:Простой метод, не требующий решения дополнительных задач, вроде вычисления производной, а рекурсивность самого алгоритма позволяет получить очень компактный и легко читаемый код.Надежный метод.Недостатки метода:Необходимо заранее знать отрезок, на котором функция меняет знак, что не совсем удобно. Метод касательныхЕсли - начальное приближение корня уравнения f(x) = 0, то последовательные приближения находят по формуле     Если f' и f'' непрерывны и сохраняют определенные знаки на отрезке , а f(a)f(b) < 0 , то, исходя из начального приближения удовлетворяющего условию можно вычислить с любой точностью единственный корень уравнения f(x) = 0.Рис.2Так как для решения поставленной задачи требуется отыскание производной функции F(x), метод касательных достаточно трудно реализуем на программном уровне, т.к. правила вычисления производных в общем виде довольно громоздки для «понимания» ЭВМ; при непосредственном указании производной для каждой степени многочлена память компьютера серьезно загружается, что очень замедляет работу, а задание функции и, соответственно, ее производной непосредственно в программном коде – недопустимо. Однако, используя данный метод, сходимость интервала к корню происходит наиболее быстро.Глава 2. Практическая частьУравнения 2х2-0,5х-3=0Отделение корней графическим методомДля уравнения 2х2-0,5х-3=0 на интервале [-7;-5] уточнить значение корня методом половинного деления (дихотомии) с точностью е = 0,01(ответ: корень уравнения х = -6,21)Ход выполнения заданияБлок схеманетданетданачалоВводим a,b,ec = (a + b) / 2(Abs(b - a) > e) And (f(c) <> 0)конецВводим сc = (a + b) / 2F(a)= 2 * a * a - 0.5 ^ a - 3F(c)= 2 * c * c - 0.5 ^ c - 3f(c) * f(a) < 0b = ca = cПрограммный код на VBA в процессоре MS Excel:Sub Dihotomia()Dim a As Single: Dim b As Single: Dim c As Single: Dim e As Singlea = Val(InputBox("введите левый конец интервала a"))b = Val(InputBox("введите правый конец интервала b"))e = Val(InputBox("введите точность e"))c = (a + b) / 2Do While (Abs(b - a) > e) And (f(c) <> 0)c = (a + b) / 2If f(c) * f(a) < 0 Then b = c Else a = cLoopMsgBox "Корень уравнения x = " & Format(c, "0.##")End SubFunction f(x As Single) As Singlef = 2 * x * x - 0.