Математические методы теории принятия решений

ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ УСТУПОК
1.1. ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ УСТУПОК
1.2. Принцип оптимальности Парето
1.3. Решение задачи методом последовательных уступок.
ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИГР
2.1 Сущность теории игр
2.2 Классификация теории игр
2.3. Значение теории игр в экономике
2.4. Решение задачи
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Математические методы теории принятия решений

Как уровень исследования операций теория игр является теорией математических моделей принятия решений в условиях неопределенности. Однако не следует полагать, будто теория игр занимается вопросами принятия решений при полном неведении об обстановке. Известные элементы обстановки определяют множество способов действий сторон и значения критерия эффективности как функции, заданной на этом множестве. Неизвестные элементы обуславливают отсутствие любой, даже вероятностной информации о возможных реализациях того или иного способа действий противника. Таким образом, любую неопределенность можно расчленить на известную и неизвестную части, построить теоретико-игровую модель, на основании которой определяется оптимальное решение. Для применения теории игр нужна существенная схематизация конфликтной ситуации и представление ее в виде игры, в которой противники, именуемые игроками, имеют противоположные цели и располагают различными путями для их достижения. Причем обязательным является то, что достижение одним игрокам своей цели находится в непосредственной зависимости от выбора способа действий другим игроком. Более того, отличительная особенность игры по сравнению с реальной конфликтной ситуацией состоит в том, что первая ведется по заранее определенным правилам. В этом и заключается основное ограничение в применении теории игр. Ведь если теоретико-игровой подход, безусловно, правомерен в любой игре, то не всегда можно построить соответствующую математическую модель для конкретных условий обстановки. Основное значение теории игр состоит в том, что она дает ориентацию тогда, когда применение другого математического аппарата невозможно из-за отсутствия необходимой информации о действиях противника, а времени и, самое главное, других эффективных способов нет. Применение теории игр для обоснования оптимального решения требует представления конфликтной ситуации в виде некоторой игры, которая по своему содержанию и форме является ее математической моделью.Для построения модели конфликтной ситуации прежде всего должны быть сформулированы правила игры, то есть система условий, которая определяет возможные варианты действий игроков, последовательность ходов, объем информации каждого игрока о поведении другого и о функции выигрыша.Возможные варианты способов действий вытекают непосредственно из анализа конфликтной ситуации.Выбор одного из возможных вариантов в процессе игры называется ходом.Заранее определенная последовательность ходов в зависимости от информации о ходах противника и о случайно изменяющихся параметрах, законы распределения которых считаются заданными, называется стратегией игрока. Каждая стратегия предопределяет поведение игрока во все моменты игры, когда он должен делать выбор одного из всевозможных способов действий. Она может быть очень плохой или очень хорошей, но для анализа игры существенно описать все возможные планы или стратегии каждого игрока.Совокупность сделанных игроками ходов в соответствии с выбранными ими стратегиями определяет ситуацию игры, которая является моделью складывающейся обстановки в результате конкретных действий, предпринятых противоположными сторонами. Ситуация, на основании которой определяется исход игры, называется заключительной. Каждой заключительной ситуации всегда соответствует определенное значение критерия эффективности. Правило, по которому каждой заключительной ситуации ставится в соответствии величина критерия эффективности, называется функцией выигрыша. Это название обусловлено тем, что каждое ее значение можно представить как выигрыш, получаемый игроком в зависимости от сделанных ходов. На величину выигрыша оказывают влияние не только действия игроков, но и факторы, которые не находятся под их управлением. К таким факторам относятся эффективность, или стоимость имеющихся в распоряжении игроков сил и средств, их количество, гидролого-метеорологические условия и так далее. Поэтому при описании функции выигрыша учитываются не только возможные способы действий игроков, но и факторы, независимые от игроков. Однако по своей сущности функция выигрыша представляет выигрыш каждого игрока только как функцию стратегий, применяемых игроками. В этом смысле выигрыш является связующим звеном между множеством стратегий одного игрока и множеством стратегий другого; функция же выигрыша указывает, сколько один игрок может выиграть у другого, если первый выбирает конкретную какую-либо стратегию из множества стратегий, а другой игрок выбирает какую-либо стратегию из своего множества.Таким образом, выигрыш – это оценка ожидаемых результатов всех возможных сочетаний стратегий одного игрока со стратегиями другого. Для получения таких оценок могут применяться методы теории вероятностей, теории массового обслуживания, теории управления запасами, теории поиска и различные экономические показатели. Следовательно, теория игр исходит из заранее определенных значений того или иного критерия эффективности для конкретного сочетания стратегий обоих игроков, то есть принимается, что функция выигрыша задана.2.2 Классификация теории игрТеоретико-игровые модели боевых действий классифицируются в зависимости от числа последовательных ходов и возможных способов действий игроков, характера и объема информации, доступной каждому игроку относительно действий другого, а также отношения каждого из игроков к значению функции выигрыша.В зависимости от числа возможных способов действий игры подразделяются на конечные и бесконечные. Конечной называется игра, в которой у каждого игрока имеется конечное число возможных способов действий. В бесконечной игре по крайней мере один из игроков имеет бесконечное множество возможных способов действий. Число последовательных ходов у любого из игроков определяет подразделение игр на одноходовые и многоходовые, или позиционные. В одноходовой игре каждый игрок делает только один выбор из возможных вариантов и после этого устанавливает исход игры.Многоходовая, или позиционная, игра развивается во времени, представляя собой ряд последовательных этапов, каждый из которых наступает после хода одного из игроков и соответствующего изменения обстановки.Многоходовые игры в зависимости от характера и объема информации каждого игрока о сделанных ходах противником подразделяются на два класса: игры с полной информацией и игры с неполной информацией. В играх с полной информацией каждый игрок на каждом этапе знает результаты всех предыдущих ходов. В зависимости от отношения каждого из игроков к значению функции выигрыша игры подразделяются на антагонистические и неантагонистические. В антагонистических играх интересы ее участников прямо противоположны. Это означает, что сколько один игрок выиграл, то столько же другой проиграл. В этих условиях каждый игрок стремится обеспечить себе максимальный выигрыш, а противнику максимальный проигрыш. Это приводит к тому, что выигрыш одного игрока соответствует проигрышу другого, Поэтому можно считать, что суммарный выигрыш обоих игроков антагонистической игры во всех ситуациях равен нулю. Отсюда эти игры иногда называют играми с нулевой суммой или нулевыми играми.В неантагонистических играх игроки преследуют разные, но не прямо противоположные цели. Отсутствие антагонизма в смысле "равенства значений функций выигрыша по величине и противоположности по знаку" приводит к одному из классов неантагонистических игр, называемому биматричными играми.Одноходовая конечная антагонистическая игра является теоретико-игровой моделью конфликтной ситуации, в которой противники для достижения диаметрально противоположных целей делают по одному выбору (ходу) из конечного числа возможных способов действий. В соответствии с выбранными способами действий (стратегиями) определяется достигаемый результат. Функция выигрыша в такой игре задается матрицей..строки всегда для стратегий выигрывающего (максимизирующего) игрока, то есть игрока, который стремится к максимизации критерия эффективности (игрок I). Столбцы отводятся для стратегий проигрывающего игрока, то есть игрока, который стремится к минимизации критерия эффективности (игрок II). Клетки матрицы, стоящие на пересечении строк и столбцов, представляют результаты заключительных ситуаций и заполняются числами aij— значениями критерия эффективности, характеризующего выигрыш игрока I и соответственно проигрыш игрока II.Обычно матрицу, имеющую строк и столбцов, называют (mxn) матрицей и обозначают ||aij||. Соответственно игру называют (mxn) игрой.Позиционная (многоходовая) игра является теоретико-игровой моделью конфликтной ситуации, в которой противники для достижения своих целей последовательно делают по одному выбору (ходу) из конечного числа возможных способов действий на каждом этапе развития этой ситуации.2.3. Значение теории игр в экономикеТеория принятия решений в условиях риска и неопределенности основывается на следующих исходных положениях:Объект принятия решения четко детерминирован и по нему известны основные из возможных факторов риска. В финансовом менеджменте такими объектами выступают отдельная финансовая операция, конкретный вид ценных бумаг, группа взаимоисключающих реальных инвестиционных проектов и т.п. По объекту принятия решения избран показатель, который наилучшим образом характеризует эффективность этого решения. По краткосрочным финансовым операциям таким показателем избирается обычно сумма или уровень чистой прибыли, а по долгосрочным — чистый приведенный доход или внутренняя ставка доходности. По объекту принятия решения избран показатель, характеризующий уровень его риска. Финансовый риски характеризуются обычно степенью возможного отклонения ожидаемого показателя эффективности (чистой прибыли, чистого приведенного дохода и т.п.) от средней или ожидаемой его величины. Имеется конечное количество альтернатив принятия решения (конечное количество альтернативных реальных инвестиционных проектов, конкретных ценных бумаг, способов осуществления определенной финансовой операции и т.п.). Имеется конечное число ситуаций развития события под влиянием изменения факторов риска. В финансовом менеджменте каждая из таких ситуаций характеризует одно из возможных предстоящих состояний внешней финансовой среды под влиянием изменений отдельных факторов риска. Число таких ситуаций в процессе принятия решений должно быть детерминировано в диапазоне от крайне благоприятных (наиболее оптимистическая ситуация) до крайне неблагоприятных (наиболее пессимистическая ситуация). По каждому сочетанию альтернатив принятия решений и ситуаций развития события может быть определен конечный показатель эффективности решения (конкретное значение суммы чистой прибыли, чистого приведенного дохода и т.п., соответствующее данному сочетанию). По каждой из рассматриваемой ситуации возможна или невозможна оценка вероятности ее реализации. Возможность осуществления оценки вероятности разделяет всю систему принимаемых рисковых решений на ранее рассмотренные условия их обоснования («условия риска» или «условия неопределенности»). Выбор решения осуществляется по наилучшей из рассматриваемых альтернатив. Методология принятия решения в условиях риска и неопределенности предполагает построение в процессе обоснования рисковых решений так называемой «матрицы решений», которая имеет следующий вид (табл. 1).Таблица 1. «Матрица решений», выстраиваемая в процессе принятия решения в условиях риска или неопределенностиВарианты альтернатив принятия решенийВарианты ситуаций развития событийС1С2...С nА1Э11Э12...Э1 nА2Э21Э22...Э2 n...  ... А nЭ n1Э n2...Э nnВ приведенной матрице значения A1; A2;... А n характеризуют каждый из вариантов альтернатив принятия решения; значения С 1; С2;...; С n — каждый из возможных вариантов ситуации развития событий; значения Э11; Э12; Э1 n; Э21; Э22; Э2 n; Э n1; Э n2; ...; Э nn — конкретный уровень эффективности решения, соответствующий определенной альтернативе при определенной ситуации.Приведенная матрица решений характеризует один из ее видов, обозначаемый как «матрица выигрышей», так как она рассматривает показатель эффективности. Возможно также построение матрицы решений и другого вида, обозначаемого как «матрица рисков», в котором вместо показателя эффективности используется показатель финансовых потерь, соответствующих определенным сочетаниям альтернатив принятия решений и возможным ситуациям развития событий.На основе указанной матрицы рассчитывается наилучшее из альтернативных решений по избранному критерию. Методика этого расчета дифференцируется для условий риска и условий неопределенности.I.