Теория ценообразования опциона

Введение
Глава 1. Общая характеристика опционов
1.1. Виды опционов и организация торговли опционами.
1.2. Понятие цены опциона.
Глава 2. Модели ценообразования опционов.
Глава 3. Практические вопросы оценки стоимости опционов
3.1. Оценка стоимости перед истечением опционов
3.2 Биноминальная модель оценки стоимости опционов.
3.3. Модель Блэка-Шоулза для опционов «колл»
Заключение.
Литература

Теория ценообразования опциона

Глава 2. Модели ценообразования опционов.
Теория ценообразования опционов исходит из того, что на цену опциона влияют шесть базовых факторов:
• текущая цена базового актива
• цена strike опциона
• время до истечения опциона
• волатильность базового актива
• ставка процентного дохода без риска
• дивидендные выплаты по базовому активу за время жизни опциона1
Эти факторы используются при построении математических моделей «теоретической» цены опционов (fair value), получивших широкое распространение на опционном рынке.
Широко используемые модели ценообразования опционов, такие как модель Блэка-Шоулза, модель Мертона служат фундаментом опционных стратегий в течение многих лет, но они показали свою несостоятельность в определении справедливой стоимости опциона в предсказуемых ситуациях,когда происходящие события ожидаемы.
Примерами таких событий могут быть события  с заранее известной датой выхода и хорошо известные в будущем, такие как отчеты о прибылях и убытках индивидуальных компаний, заседание Федерального Открытого Комитета по Рынку, еженедельная статистика Американского Института Нефти по материальным запасам нефти, Ассоциации Энергетики по поставкам натурального газа, Департамента Сельского Хозяйства отчетов по зерну, хлопку и тд.
Вообще, такие события показывают различные степени вероятности существенных ценовых скачков на спотовом и фьючерсных рынках.
Опытные трейдеры знают, как важно понимать процесс оценки стоимости опциона в течение периода между объявленной датой выхода событий и датой, когда события фактически становятся общеизвестны.  Влияние новостей на стоимость опциона растет по мере приближения к дате экспирации и может составлять основную часть стоимости опциона в случае выхода новостей непосредственно перед экспирацией опциона.
Опционные трейдеры часто входят в позиции перед выходом экономических новостей, например, продавая опционы и рискуя в случае сильного направленного движения, в обмен на скорый распад времени и близость экспирации. Но обладают ли они достаточным аналитическим инструментом, чтобы должным образом определить риск/доходность их операций? Аналогично, как покупателям опционов определить справедливую цену, чтобы захеджироваться или открыть спекулятивные позиции?
Когда ожидаемое событие с определенным потенциальным эффектом на рынок базового актива должно произойти до даты экспирации опционов, цена имеет тенденцию резко изменяться, часто превышая среднедневные диапазоны, базирующиеся на исторической волатильности. Такие резкие скачки цен учитывались и прежде, например, в модели Мертона. Однако модель Мертона использует распределение Пуассона, где возникновение скачков предполагается как случайное, редкое событие.1
Хорошим примером такой ситуации был ежеквартальный отчет компании Dell, который выходил после закрытия рынка 14.02.2002, как раз перед 15.02.2002 – днем экспирации опционов. Рыночная цена была $26.80. Модели Блэка-Шоулза и Мертона давали цену OTM Calls опционов 27.5 центов, т.е фактически нулевую. Реально, такой опцион стоил 50 центов, отражая в стоимости вероятность скачка курса акций после выхода отчета.
 Цель модели состоит в том, чтобы получить формулу оценки стоимости опциона в течение периода перед выходом новостей, а также определить вероятность истечения опциона по цене страйк или в деньгах. Мы рассматриваем вероятностные процессы движения курсов на фондовом рынке как супер-позиции двух процессов. Первый следует за геометрическим Броуновским движением, которое является результатом общей экономической информации, поступающей на рынок непрерывно. Второй процесс – результат важной специфической информации для фирмы, которая способна вызывать существенные изменения цен (скачки) в запланированное время. Мы предполагаем, что эти два процесса независимы, принимая гипотезу эффективного рынка, что цена реагирует на вышедшие новости мгновенно, и нет риска свободно вернуться, и заработать после выхода новостей. Из статистической независимости и свойств функции экспоненты следует, что ожидания доходности опциона не зависят от точного момента скачка, а зависят только от факта, что это происходит между текущим временем и моментом экспирации опциона.
  
t_start – текущая дата
T – дата экспирации
t = T – t_start – временной интервал до экспирации
n – количество сообщений между текущей датой и датой экспирации, n = 0, 1, 2,…
n = 0, означает отсутствие сообщений до экспирации
n = 1, означает одно сообщение до даты экспирации, и так далее
t* - ожидаемое время выхода новостей
k – количество скачков в n сообщениях, k = 0, 1, 2,…,n
p – вероятность прыжка в одном сообщении
x – цена базового актива
a – цена страйка
σ – стандартное отклонение процесса распространения
δ – стандартное отклонение величины прыжка
r – процентная ставка
p(n,k) – вероятность k скачков в n сообщениях
 
p(n,k) = C(n,k)p(n-k) * (1-p)k,
C(n,k) – количество возможных n,k комбинаций
С(n,k) = n!/(k!*(n-k)!)
N(y) – стандартное нормальное распределение
f(0) – цена опциона Call без скачков (модель Блэка – Шоулза)
f(k) – цена опциона Call, если k скачков в каждом сообщении, влияющем на базовый актив
ff(k) – цена опциона Call, если k скачков в каждом сообщении, влияющем на фьючерс
p(0) – вероятность закрытия опциона Call в деньгах, если не будет скачков.
p(k) – вероятность закрытия опциона Call в деньгах, если будет k скачков в каждом сообщении
 
Для базового актива x в текущее время t, если x движется по геометрическому Броуновскому движению, ожидаемая ставка возвращения равна
μ – 0.5 * σ2.
 
Реакция на выход ожидаемых новостей определена как скачок цены базового актива x во время t* с вероятностью p. Размер скачков в пропорции к х определен логнормальным распределением с параметрами:
 
δ2- вариация величины скачков, и
μ* - 0.5 * δ2- размер скачков.
В формулах, параметры тенденции μ и μ* определены следующим образом:
 
μ* = 0, μ = r для базового актива и μ = 0 для фьючерсов. Должно выполняться условие Мартингейла, то есть нормальное ожидание базового актива x(t) не должно зависеть от t.
  
Стоимость Европейского опциона Call в n сообщениях:
Стоимость опциона во время t выражена уравнением (1). Вероятность закрытия опциона в деньгах рассчитывается уравнением (2). Отметим, что f(k) цена опциона с учетом k скачков, которая фактически имеет ту же структуру, что и модель Мертона. Однако в нашем случае, она устроена несколько по-другому.
Предлагаемая модель учитывает ситуацию выхода новостей непосредственно перед экспирацией. В этом случае стоимость опциона рассчитывается по формуле (7), и учитывая вероятность скачка, равную одному (p=1), стоимость опциона Call просто равна f(1).
Важной и уникальной особенностью этой модели является возможность резкого изменения стоимости опциона, в то время как цена базового актива в течение определенного промежутка времени неподвижна. В формулах Блэка-Шоулза и Мертона также присутствует возможность изменения стоимости опциона без изменения цены базового актива, но они рассматривали ее как непрерывную функцию распада времени.
   Другой важной функцией модели является отсутствие конвергенции стоимости опциона к стоимости опциона на момент экспирации. Это происходит, когда время выхода новости совпадает с датой экспирации.
 С точки зрения практического применения, данную модель можно использовать в так называемых гибких опционах, где трейдеры могут использовать нестандартные страйки и даты экспирации. Такие опционы и опционные спреды популярны, например, на рынках облигаций. Мы можем выбрать дату экспирации в тот же день или сразу после выхода важных новостей, когда эффект ожидаемого события существенно влияет на стоимость опциона. Применяя данную модель для определения справедливой стоимости опционов в таких условиях, можно получить торговое преимущество, обладая этими знаниями.
Когда фьючерсы и опционы истекают в один день или рынок закрывается рядом с ценой страйка с большим открытым интересом, волатильность может увеличиться, что повлияет на цену опциона. В приведенном примере, единственная причина более высокой справедливой стоимости опциона заключается в ожидании выхода новостей.
Опционные трейдеры имеют в своем арсенале большой набор опционных стратегий и используют их в зависимости от ситуации на рынке. Описанная модель является одной из таких, весьма распространенных, рыночных ситуаций.
   Эффективное использование представленных формул невозможно без оценок параметров, используемых для вычислений. В дополнение к обычно используемым параметрам измерения волатильности добавляются два новых p и δ. Здравая методология их оценки в соответствии со статистическими процедурами является ключом к успеху.
Глава 3. Практические вопросы оценки
стоимости опционов
3.1. Оценка стоимости перед истечением опционов
Стоимость опциона связана со стоимостью базисного актива, и эта взаимосвязь явля­ется наиболее очевидной непосредственно перед моментом истечения опциона (для краткости будем говорить «при истечении»). Рассмотрим зависимость между стоимостью опциона «колл» с ценой исполнения $100 и ценой базисной акции при истечении. Если цена акции ниже $100, то опцион не имеет никакой ценности. Если цена выше $100, то опцион можно исполнить за $100 и получить актив, который стоит дороже. Чистый выигрыш покупателя опциона составит разница между рыноч­ной ценой актива и ценой исполнения, равной $100. Однако покупателю опциона нет необходимости исполнять его в действительности. Продавец опциона может просто уплатить покупателю разность между ценой актива и $100 цены исполнения. Таким образом, обе стороны могут избежать неудобств, связанных с исполнением.
Рассмотрим стоимость опциона «пут» с ценой исполнения $100 при истечении. Если цена акции выше $100, то опцион не будет иметь стоимости. Если цена ниже $100, то опцион можно исполнить, чтобы получить $100 за акцию, которая стоит меньше, и, таким образом, получить чистый выигрыш, равный для покупателя опциона разности между $100 цены исполнения и рыночным курсом акции. Как и в случае с опционом «колл», ни покупатель, ни продавец опциона могут не связываться с реальными акциями. Продавец опциона «пут» может просто уплатить покупателю разницу между курсом акции и $100 цены исполнения.
Внутренняя стоимость опциона «колл» в соответст­вии с уравнением равна max {0, Ps — $100}, так как цена исполнения равна $100.
Для любого рыночного курса акции ниже $100, например $50, его внутрен­няя стоимость равна max {0, $50 - $100} = 0.
Предпо­ложим теперь, что рыночный курс акции выше $100, например, равен $150. В этом слу­чае внутренняя стоимость равна max {0, $150 - $100} = $50.
Опционы «колл» и «пут» не будут продаваться дешевле их внутренней стоимости, так как этим воспользуются опытные инвесторы. Если опцион стоит меньше его внут­ренней стоимости, то инвесторы могут мгновенно получить доход без риска. Например, если курс акции равен $150, а опцион «колл» продается за $40, т. е. на $10 меньше его внутренней стоимости (которая равна $50), то инвесторы одновременно купят опционы, исполнят их и продадут полученные от продавца опциона акции. Они затратят на каж­дый опцион $140, включая цену исполнения, а в обмен на каждую проданную акцию получат $150. В результате их чистый доход без риска составит $10 от одного опциона, Поэтому опцион «колл» не будет стоить меньше $50, когда курс акции равен $150.
3.2 Биноминальная модель оценки стоимости опционов.
Предположим, что цена акции компании Widget сегодня (t = 0) равна $100, а через год (t = T) эта акция будет стоить $125 или $80, т.е. цена акции за год или поднимется на 25%, или упадет на 20%. Кроме того, непрерывно начисляемая ставка без риска в рас­чете на год равна 8%. Предполагается, что инвесторы могут предоставлять кредит (по­купая 8%-ные облигации) и занимать средства (осуществляя «короткие» продажи об­лигаций) под данный процент.
Рассмотрим опцион «колл» на акции компании Widget с ценой исполнения $100 и датой истечения через год. Это означает, что на дату истечения стоимость опциона «колл» составит или $25 (если акция Widget стоит $125), или $0 (если акция Widget стоит $80). Данную ситуацию можно представить в виде «дерева цены». Это «дерево» имеет только две «ветви», которые показывают цены на дату истечения, поэтому модель называется биноминальной,
Если надо узнать, чему равна внутренняя (действительная) стоимость опциона в мо­мент времени 0, то для ответа на этот вопрос используется биноминальная модель оценки стоимости опциона.
Мы располагаем тремя возможностями делать инвестиции: вложить средства в ак­цию, опцион и облигацию без риска. Цены и результаты операции с акцией известны.
Также известно, что $100 инвестируются в безрисковую облигацию, стоимость которой вырастет приблизительно до $108,33 с учетом непрерывно начисляемого процента, равного 8% годовых. Наконец, известны результаты опционной операции в конце периода. Требуется определить цену продажи опциона в настоящий момент.
Ключом к пониманию ситуации служит замечание о том, что возможны два поло­жения вещей в будущем. Курс акции может пойти вверх или вниз. Для краткости назо­вем эти два состояния соответственно «верхнее положение» и «нижнее положение».
Несмотря на то, что опцион «колл» на акции компании Widget может показаться не­сколько необычным инструментом, его характеристики можно воспроизвести за счет комбинации акций компании Widget и безрисковых облигаций. Более того, стоимость воспроизведенного портфеля составляет действительную стоимость опциона. Потому что в противном случае возникнет возможность совершить арбитражную опе­рацию — инвестор может купить наиболее дешевый из двух альтернативных портфелей и продать более дорогой из них и таким образом получить гарантированный доход.
3.3. Модель Блэка-Шоулза для опционов «колл»
Рассмотрим, что произойдет с биноминальной моделью оценки стоимости опциона, если число периодов до даты истечения возрастет. Например, для опциона на акции компании Widget с истечением через год можно построить «дерево цены» с числом периодов, равным числу торговых дней в году, которых насчитывается приблизительно 250. Таким образом, в конце года для акций Widget будет существовать 251 возможная цена. Нет необходимости говорить, что действительная цена любого опциона «колл» для такого «дерева» быстро определяется компьютером по такому же принципу, как было показано выше для акций компании Widget. Если число периодов еще более увеличить, считая каждый час торгового дня, тогда они будут насчитывать порядка 1750 (7 х 250) часовых периодов (что соответствует 1751 возможной цене в конце года). Обратите внимание на то, что число периодов в году возрастает при уменьшении продолжитель­ности каждого периода. Максимально возможным будет бесчисленное количество бес­конечно малых периодов (и соответственно бесконечное число возможных курсов в конце года). В таком случае модель ВОРМ превра­щается в модель Блэка—Шоулза.
Во-первых, данная модель будет иметь ограниченное применение, так как почти все опционы в Соединенных Штатах являются американскими, т.е. могут быть исполнены в любой момент времени до даты истечения, тогда как модель Блэка—Шоулза приме­нима только для европейских опционов. Строго говоря, модель применима только к опционам на акции, по которым не выплачиваются дивиденды в течение срока дейст­вия опциона. Однако по большинству обыкновенных акций, на которые выписывают­ся опционы, в действительности выплачиваются дивиденды.
Первый недостаток модели Блэка—Шоулза - применимость только для европей­ских опционов - можно обойти довольно легко, если это опцион «колл» на акции, по которым не выплачиваются дивиденды. Можно показать, что инвестору, купившему американский опцион «колл» на акции, по которым не выплачиваются дивиденды, бессмысленно исполнять такой опцион до даты истечения. Так как нет смысла испол­нять такой опцион до даты истечения, то сама возможность исполнения значения не имеет. Следовательно, не будет различий в ценах американского и европейского опци­онов «колл». В свою очередь, это означает, что модель Блэка—Шоулза может быть ис­пользована для действительной оценки стоимости американских опционов «колл» на акции, по которым не выплачиваются дивиденды.1
Опцион «колл» называют опционом без выигрыша (at the money), если рыночная цена базисного актива примерно равна цене исполнения опциона «колл». Если цена актива ниже цены исполнения, то такой опцион называют опционом с проигрышем (out of the money). Если рыночная цена выше цены исполнения, то опцион именуют опци­оном с выигрышем (in the money). Иногда используют еще более точные характеристики, например, можно услышать такие определения, как «около выигрыша», «с большим выигрышем» или «с большим проигрышем».