Сравнительный анализ методов оценки систем одновременных уравнений

Введение
1 Системы одновременных уравнений
1.1 Понятие и сущность системы одновременных уравнений
1.2 Модель спроса и предложения
Выводы по главе 1
2 Анализ методов оценки систем одновременных уравнений
2.1 Косвенный метод наименьших квадратов
2.2 Проблемы идентифицируемости
2.3 Метод инструментальных переменных
2.4 Одновременное оценивание регрессионных уравнений.
Внешне не связанные уравнения
2.5 Трехшаговый метод наименьших квадратов
Выводы по главе 2
Заключение
Библиографический список

Сравнительный анализ методов оценки систем одновременных уравнений

Оценки (8) называются оценками косвенного метода наименьших квадратов. В отличие от оценок прямого применения метода наименьших квадратов оценки (9) состоятельны.
Рассмотрим пример исследований системы (3)-(4). Пусть имеются данные по n =200 наблюдениям переменных.
Применим сначала обычный метод наименьших квадратов. Получим следующие результаты:
= 3153,451+15,73x1 – 1,2y2 ; d = 1,894, R2=0,9999;
(5,127) (0,687) (0,001)
= 2606,23+12,88x2 – 0,83y1 ; d=1,893,R2=0,9999.
(1,75) (0,581) (0,001)
В обоих случаях мы имеем практически 100% подгонку: коэффициент детерминации равен 1 с точность до четвертого знака. Однако, как мы знаем, полученные оценки несостоятельны, и, следовательно, их значения могут заметно отклоняться от истинных значений параметров.
Применим теперь косвенный метод наименьших квадратов: оценим регрессионную зависимость Yi по X1 и X2:
= 2242,755+471,19X1-241,07x2; d =1,96,R2 = 0,778,
(361,2) (19,04) (28,83)
= 727,7-376,37x1+201,29x2; d = 1,96,R2 = 0,769
(297,35) (15,67) (23,74)
Таким образом, получаем:
b1 =471,19; c1 = - 241,07; b2 = - 376,37; c2 = 201,29
a1 = 2242,755; а2 =727,7 (10)
откуда, используя (7), получаем:
α1 = 3114,286; α2 = 2519,134; β1 = 20,43; β2 = 8,73; γ1 = - 1,198; γ2 = - 0,8 (11)
Как видно, полученные таким образом оценки заметно отличаются от полученных прямым методом наименьших квадратов.
2.2 Проблемы идентифицируемости
В рассмотренном примере уравнения (6) были однозначно разрешимы относительно исходных параметров, что позволило найти их состоятельные оценки. Очевидно, что такая ситуация имеет место не всегда. Далее, хотелось бы рассмотреть эту проблему более подробно.
Форма (2) называется структурной формой системы уравнений. В случае двух уравнений с двумя неизвестными структурной формой будем называть также уравнения (3)-(4). Параметры структурной формы называются структурными параметрами. Форма (5) называется приведенной формой системы. Параметры приведенной формы оцениваются с помощью метода наименьших квадратов. Однако экономический смысл и интерес для анализа представляют параметры структурной формы. Именно структурная форма раскрывает экономический механизм формирования значений эндогенных переменных.
Структурный параметр называется идентифицируемым, если он может быть однозначно оценен с помощью косвенного метода наименьших квадратов.
Уравнение идентифицируемо, если идентифицируемы все входящие в него структурные параметры.
Структурный параметр называется неидентифицируемым, если его значение невозможно получить, даже зная точные его значения параметров приведенной формы. Наконец, параметр называется сверхидентифицируемым, если косвенный метод наименьших квадратов дает несколько различных его оценок.
Пусть, например, в рассматриваемой модели мы предполагаем, что переменная Y1 зависит от двух экзогенных переменных X1, X2, между тем как динамика Y2 определяется только эндогенной переменной Y1, т. е. система уравнений имеет вид:
Y1 = α1 + β1 X1 + β2 X2 + γ 1Y2 + ε1,
Y2 = α2 + β1 X1 + β2 X2 + γ 2Y1. (12)
В приведенной форме уравнения (12) имеют вид (5), где
b1 = β1 , b2 = β1 γ2 ,
1- γ1 γ2 1- γ1 γ2
(13)
c1 = β2 , c2 = β2 γ2 ,
1- γ1 γ2 1- γ1 γ2

что может быть переписано в виде:
β1 = b1, β2 = c1, (14)
1- γ1 γ2 1- γ1 γ2
γ2 = b2 = c2
b1 c1. (15)
Очевидно, что три коэффициента β1, β2, γ1 не могут быть найдены из двух уравнений (14). Это означает, что существует бесконечное множество их возможных значений, приводящих к одной и той же приведенной форме. Такие коэффициенты называются неидентифицируемыми и, соответственно, неидентифицируемым называется уравнение, содержащее эти параметры.
В то же время для определения γ2 мы имеем две различные возможности, задаваемые соотношением (15). При этом заметим, что необходимо выполнение равенства:
b2 c2
=
b1 c1.

Но хотя это равенство выполняется для истинных (неизвестных) значений параметров c и b, для их оценок оно, конечно, выполняться не будет.
В качестве примера рассмотрим модель (12) с данными из примера 1 (2). Оценки параметров приведенной модели имеют значения (10).
Отсюда имеем:
b2 c2
b1 = - 0,8; c1 = - 0,835.
Параметр, для которого существует несколько способов выражения через коэффициенты приведенной формы, называются сверхидентифицируемым. Таковым является параметр γ2 из рассматриваемого примера. Для сверхидентифицируемого параметра имеется несколько, вообще говоря, различных оценок.
Проблема сверхидентифицируемости – проблема количества наблюдений: с увеличением объема выборки все различные состоятельные оценки параметра стремятся к одному и тому же истинному значению. Между тем проблема неидентифицируемости – это проблема структуры модели. Неидентифицируемость не исчезает с ростом количества наблюдений и означает, что существует бесконечное число структурных моделей, имеющих одну и ту же приведенную форму.
Неидентифицируемость вовсе не является редким явлением. В самом деле, для идентифицируемости, грубо говоря, надо, чтобы количество оцениваемых структурных параметров было бы равно количеству оцененных параметров приведенной формы. Очевидно, однако, что в общем случае структурных параметров больше.
Очевидно, неидентифицируемость модели означает, что косвенный метод наименьших квадратов неприменим.
2.3 Метод инструментальных переменных
Метод инструментальных перемен – один из наиболее распространенных методов оценивания уравнений, в которых регрессоры коррелируют со свободными членами. Именно это явление оказывается характерным для систем одновременных уравнений. Мы рассмотрим отдельно два случая – идентифицируемой и неидентифицируемой системы.
1. Система идентифицируема.
Рассмотрим модель (5). Для ее коэффициентов метод наименьших квадратов дал оценки (8). Легко увидеть, что эти оценки совпадают с оценками, полученными методом инструментальных переменных уравнений:
Y1 = α1 + β1 x1 + γ1 + x2 + ε1 ; (16)
Y2 = α2 + β2 x2 + γ2 + x1 + ε2 .
Таким образом, экзогенные переменные X1 и X2 используются как инструментальные для переменных Y1, Y2. Этот результат, полученный нами в (2), верен и в общем случае:
Если при оценке идентифицируемого уравнения в качестве инструментальных переменных используются экзогенные переменные, то получаемые при этом оценки совпадают с оценками косвенного метода наименьших квадратов.
Из этого следует, что косвенный метод наименьших квадратов является частным случаем метода инструментальных переменных.
Если система идентифицируема, и количество экзогенных переменных X совпадает с количеством эндогенных переменных Y, оценки двухшагового метода совпадают с оценками косвенного метода наименьших квадратов.
Процедура двухшагового метода наименьших квадратов реализована в большинстве компьютерных пакетов. Так, при использовании модели из (2) при применении этого метода получились бы уравнения:
= 3114,286 + 20,43x1 – 1,1982; d = 1,96, R2 = 0,778,
(462,53) (57,53) (0,14)
= 2519,134 + 8,73 x2 – 0,82; d = 1,96, R2 = 0,769.
(326,42) (25,2) (0,08)
Как следовало ожидать, полученные оценки совпадают с оценками (11), полученными косвенным методом наименьших квадратов.
2. Система неидентифицируема.
В этом случае метод инструментальных переменных, вообще говоря, тоже применим, однако для его использования необходимо располагать «внешними» инструментальными переменными – экзогенных переменных не хватает. (Очевидно, это не что иное, как другая интерпретация неидентифицируемости модели.)
Предположим, имеется избыток инструментальных переменных в количестве l, и имеется возможность использовать их различные наборы. В этом случае двухшаговый метод наименьших квадратов предоставляет оптимальный выбор. Пусть {Z} – набор инструментальных переменных (как «внутренних», экзогенных, так и «внешних»). Пусть i – проекции эндогенных переменных на пространство Z (для их получения следует осуществить регрессию:
i = аi +bij Zj
обычным методом наименьших квадратов). Очевидно, переменные i представляют собой линейные комбинации инструментальных переменных, наиболее тесно коррелирующих с переменными Yi.
Замену в структурной форме системы Yi на i иногда называют «очищением» эндогенной переменной, которая коррелирует с ошибками регрессии.
В качестве примера рассмотрим модель:
Y1 = a1 + βX + γ1Y2 + ε1;
Y2 = a2 + γ2Y1 + ε2
с инструментальными переменными Z1 и Z2.
Применяя к модели обычный метод наименьших квадратов, получаем оценки
1 = 4,837; = 0,263; = 0,206;
2 =1,116; 2 = 0,358, (17)
которые, как известно, несостоятельны, и, следовательно, их значения могут существенно отличаться от истинных значений параметров. Применим теперь метод инструментальных переменных X, Z1, Z2. полученные при этом оценки имеют вид:
1 = 3,65; = 0,239; = 0,518;
2 = - 1,795; 2 = 0,675 (17.1)
и, как видно, значительно отличаются от оценок (17). Наилучшие оценки можно получить с помощью двухшагового метода наименьших квадратов. Они имеют вид:
1 = 3,632; = 0,241; = 0,522;
2 = - 1,783; 2 = 0,675.
2.4 Одновременное оценивание регрессионных уравнений.
Внешне не связанные уравнения
Косвенный метод наименьших квадратов, по сути, сводится к оцениванию по отдельности уравнений приведенной формы.
Y1 = a1 + b1X1 + ν1, (18)
Y2 = a2 + b2X2 + ν2. (19)
При этом, вообще говоря, Cov (ν1, ν2) ≠ 0. Отсюда следует, что эффективность оценивания можно повысить, если объединить уравнения (18), (19) в одно и применить к нему обобщенный метод наименьших квадратов.
Пусть
Y1 β1 ν1
X = X1 0 ; Y = …. ; β = … ; ν = …
0 X2
Y2 β2 ν2
Тогда уравнения (18) - (19) можно записать в виде:
Y=Xβ + ν. (20)
Пусть
Σ11 = Cov (ν1, ν1), Σ12 = Cov (ν1, ν2), Σ22 = Cov (ν2, ν2). (21)
Если уравнения (18), (19) по отдельности удовлетворяют условиям классической модели, матрицы Σij – скалярные.
Тогда Σ11 Σ12
Σ = Σ12 Σ22
Есть ковариационная матрица ошибок регрессии уравнения (20). Соответственно, оценка обобщенного метода наименьших квадратов уравнения (20) имеет вид (20.1):
b* = (x' + Σ-1 x)-1 x' ΣY.
Для практического применения обобщенного метода наименьших квадратов следует оценить матрицу Σ. Это можно сделать, применив метод наименьших квадратов сначала к уравнениям (18), (19) по отдельности , найти остатки регрессии и принять а качестве оценок матриц Σij выборочные ковариации Cv (ei, ej). Очевидно, эти оценки будут состоятельными.
Применяя метод одновременного оценивания, можно повысить эффективность косвенного метода наименьших квадратов. Заметим, однако, что если наборы экзогенных переменных в обоих уравнениях совпадают, то оценка одновременного оценивания совпадает с оценкой метода наименьших квадратов, примененного к уравнениям по отдельности.
Процедура одновременного оценивания регрессионных уравнений системы как внешне не связанных реализована в стандартных компьютерных пакетах. В западных эконометрических пакетах соответствующий метод оценивания называется Seemingly Unreleased Regression (SUR) (внешне не связанные уравнения).
Рассмотрим пример модели вида: