Изображение плоских и пространственных фигур в параллельной проекции

Введение
1. Параллельное проектирование
2. Аффинные отображения
3. Изображение плоских фигур в параллельной проекции
4. Изображение многогранников в параллельной проекции
5. Изображение цилиндра, конуса и шара
6. Аксонометрия. Метод аксонометрического проектирования
7. Полные и неполные изображения
8. Позиционные задачи
9. Построение сечений простейших многогранников
10. Метрические задачи
11. Понятие о методе Монжа
Заключение
Список использованной литературы

Изображение плоских и пространственных фигур в параллельной проекции

При изображении куба плоскость изображений обычно выбирается па­раллельной одной из его граней. В этом случае две грани куба, парал­лельные плоскости изображений (передняя и задняя), изображаются равными квадратами. Ос­тальные грани куба изображаются параллелограммами (рис. 6). Анало­гичным образом изображается прямоугольный параллелепипед (рис. 7).
Для того чтобы построить изображение призмы, достаточно постро­ить многоугольник, изображающий ее основание. Затем из вершин многоу­гольника провести прямые, параллельные некоторой фиксированной прямой, и отложить на них равные отрезки. Соединяя концы этих отрезков, полу­чим многоугольник, являющийся изображением второго основания призмы (рис. 8).
рис. 8 рис. 9
Для того чтобы построить изображение пирамиды, достаточно пост­роить многоугольник, изображающий ее основание. Затем выбрать ка­кую-нибудь точку, которая будет изображать вершину пирамиды, и соеди­нить ее с вершинами многоугольника (рис. 9). Полученные отрезки бу­дут изображать боковые ребра пирамиды.
5. Изображение цилиндра, конуса и шара
Для изображения цилиндра, конуса, шара, сферы и пр. используют ортогональное проектирование. Ортогональным проектированием называется параллельное проектирование в направлении прямой, перпендикулярной плоскости проектирования.
Поскольку ортогональное проектирование является частным случаем параллельного проектирования, для него справедливы все свойства параллельного проектирования.
Цилиндр
Направление проецирования выбирается так, чтобы оно было параллельно плоскости, проходящим через ось цилиндра перпендикулярно плоскости Σ. Но проецирование не ортогональное (иначе цилиндр спроектируется в прямоугольник и изображение не будет наглядным). Пусть F' — цилиндр-оригинал (рис. 10). Существуют две плоскости, касательные к цилиндру F' и параллельные направлению проецирования (напомним, что плоскость, касательная к цилиндрической поверхности, одна и та же во всех точках одной образующей; говорят, что плоскость касается поверхности вдоль этой образующей). Обозначим эти плоскости через Π' и Ω'. Они касаются цилиндра вдоль образующих (А'A1') и (В'В1') соответственно (так называемые, контурные образующие).
Пусть Q'— окружность верхнего основания цилиндра и t′- касательная к этой окружности в точке А′. Прямая (АA1)=Π'∩Σ является проекцией образующей (А'A1') цилиндра. Точно так же получим проекцию (ВВ1) образующей (В'В1'). Окружность Q' изобразится эллипсом Q (рис. 11)
рис. 10 рис. 11
Касательная t′ к окружности Q' в точке А' спроецируется в касательную к эллипсу Q в точке А. Но так как t′, то проекцией прямой t′ служит та же прямая (АA1). Следовательно, эллипс Q касается прямой (АA1) в точке А. Точно так же эллипс Q касается прямой (ВВ1) в точке В. Аналогично приходим к выводу, что эллипс Q1 , изображающий на плоскости S окружность Q′1 нижнего основания цилиндра F′, касается прямой (АA1) в точке A1 и прямой (ВВ1) в точке В1. Изображение цилиндра F' дано на рис.11.
Конус
Конус F' располагают в пространстве так, чтобы его ось была вертикальна (как и плоскость изображений S) и, следовательно, параллельна плоскости S . Направление проецирования берется параллельным плоскости L, проходящей через высоту конуса и перпендикулярной плоскости S . Но проецирование — не ортогональное. Очевидно, существуют две плоскости , , касательные к боковой поверхности конуса F' и параллельные направлению проецирования ( касается конической поверхности вдоль прямолинейной образующей SM, а -вдоль образующей SN; это контурные образующие конуса F') (рис. 12). Пусть Q' — окружность основания конуса F', t'—касательная к этой окружности в точке М' и, значит, t'. Прямая (SM) = — проекция прямой SM на плоскость Σ; SN проекция прямой SN. Окружность Q' спроецируется в эллипс Q (рис. 13). Прямая t' спроецируется в прямую (SM). Но, как мы знаем, касательная к окружности Q' проектируется в касательную к эллипсу Q. Следовательно, прямая (SM) (проекция контурной образующей SM) касается эллипса Q в точке М. Аналогично, прямая (SN) касается этого эллипса в точке N. Изображение конуса F' дано на рис. 13.
рис. 12 рис.13
Шар
Пусть F – шар, a F0 – параллельная проекция этого шара на плоскость изображения. Все прямые, касательные к шару и имеющие направление проецирования, образуют цилиндрическую поверхность вращения, которая пересекается с плоскостью  по эллипсу 0 (рис. 14). Эта линия называется очертанием шара. Проекцией F0 шара на плоскость  является часть плоскости, которая ограничена очертанием шара (на рис. 14 фигура F0 заштрихована). Если направление проецирования не перпендикулярно к плоскости , то 0 – эллипс, отличный от окружности, поэтому проекция шара F0 (а также любая фигура F, подобная ей) не является наглядным изображением шара. Если же направление проецирования перпендикулярно к плоскости , т.е. F0 – ортогональная проекция шара, то 0 – окружность. В этом случае проекцией F0 шара будет круг, поэтому изображение шара является наглядным.
рис. 14
6. Аксонометрия. Метод аксонометрического проектирования
Аксонометрические изображения широко применяются благодаря хорошей наглядности и простоте построений.
Слово «аксонометрия» в переводе с греческого означает измерение по осям. Аксонометрический метод может сочетаться и с параллельным, и с центральным проецированием, в том случае, если предмет проецируется вместе с координатной системой.
Сущность метода параллельного аксонометрического проецирования заключается в том, что предмет относят к некоторой системе координат и затем проецируют параллельными лучами на плоскость вместе с координатной системой.
На рис. 15 показана точка А, отнесенная к системе прямоугольных координат xyz. Вектор S определяет направление проецирования на плоскость проекций П*.
рис. 15
Аксонометрическую проекцию А1* горизонтальной проекции точки А принято называть вторичной проекцией.
Искажение отрезков осей координат при их проецировании на П' характеризуется так называемым коэффициентом искажения.
Коэффициентом искажения называется отношение длины проекции отрезка оси на картине к его истинной длине.
Так по оси x* коэффициент искажения составляет u=0*x*/0x, а по оси y* и z* соответственно υ=0*y*/0y и ω=0*z*/0z.
В зависимости от отношения коэффициентов искажения аксонометрические проекции могут быть:
Изометрическими, если коэффициенты искажения по всем трем осям равны между собой; в этом случае u=υ=ω;
Диметрическими, если коэффициенты искажения по двум любым осям равны между собой, а по третьей – отличается от первых двух;
Триметрическими, если все три коэффициента искажения по осям различны.
Аксонометрические проекции различаются также и по тому углу φ, который образуется проецирующим лучом с плоскостью проекций. Если φ≠ 90o, то аксонометрическая проекция называется косоугольной, а если φ= 90o – прямоугольной.
Исходя из общих сведений об аксонометрических проекциях, можно сделать следующие выводы:
- аксонометрические чертежи обратимы;
- аксонометрическая и вторичная проекции точки вполне определяют её положение в пространстве.
Аксонометрические проекции обратимы, если известна аксонометрия трех главных направлений измерений фигуры и коэффициенты искажения по этим направлениям.
Аксонометрические проекции фигуры являются её проекциями  на плоскости произвольного положения при произвольно выбранном направлении проецирования.
Возможно и обратное. На плоскости можно выбрать произвольное положение осей с произвольными аксонометрическими масштабами.
В пространстве всегда возможно такое положение натуральной системы прямоугольных координат и такой размер натурального масштаба по осям, параллельной проекцией которых является данная аксонометрическая система.
Немецкий ученый Карл Польке (1810-1876) сформулировал основную теорему аксонометрии: три отрезка прямых произвольной длины, лежащих в одной плоскости и выходящих из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на координатных осях от начала.
Согласно этой теореме, любые три прямые в плоскости, исходящие из одной точки и не совпадающие между собой, можно принять за аксонометрические оси. Любые отрезки произвольной длинны на этих прямых, отложенные от точки их пересечения, можно принять за аксонометрические масштабы. Эта система аксонометрических осей и масштабов является параллельной проекцией некоторой прямоугольной системы координатных осей и натуральных масштабов.
В практике построения аксонометрических изображений обычно применяют лишь некоторые определенные комбинации направлений аксонометрических осей и аксонометрических масштабов: прямоугольная изометрия и диметрия, косоугольная фронтальная диметрия и др.
Построение аксонометрических изображений
Переход от ортогональных проекций предмета к аксонометрическому изображению рекомендуется осуществлять в такой :