Исследование зависимости доходов от профессионального опыта

Глава 1. Особенности дефиринцирования доходов населения в зависимости от профессионального уровня работника в России
Глава 2. Расчетная часть
Глава 2.1. Множественная оценка факторов, влияющих на доход в зависимости от профессионального уровня работника
Глава 2.2. Парная регрессия
Заключение

Исследование зависимости доходов от профессионального опыта

Расчёты частных коэффициентов корреляции выполним по следующим формулам:
Как видим, факторы и , действительно, тесно связаны с результатом, и немного взаимодействуют между собой.
Расчёт аналогичных показателей по следующей паре факторов приводит к иным результатам:
В данном случае, межфакторное взаимодействие оценивается как незаметное, а факторы при этом сильно связаны с результатом
Таким образом, первая из рассмотренных пар факторных признаков (X1 и X3 ) в меньшей мере отвечает требованиям, предъявляемым МНК к исходным данным и, в частности, к отсутствию межфакторного взаимодействия.
Указанные обстоятельства позволяют использовать X2 и X3 в качестве информативных факторов уравнения множественной регрессии.
При построении двухфакторной регрессионной модели воспользуемся для упрощения расчётов методом стандартизованных переменных.
В этом случае, исходное уравнение приобретает вид:
.
Выполним расчёт - коэффициентов, используя значения известных по условию линейных коэффициентов парной корреляции.
;
;
В результате получено уравнение в стандартизованном масштабе:
Параметры данного уравнения представляют собой относительные оценки силы влияния каждого из факторов на результат. При увеличении второго фактора на одну сигму (от своей средней) среднемесячная заработная плата увеличивается на 0,299 своей сигмы (); с увеличением третьего фактора на одну сигму результат увеличивается на 0,432 своей сигмы .
В данном случае, увеличение среднемесячной заработной платы происходит, прежде всего, под влиянием третьего фактора и в меньшей степени – в результате увеличения второго фактора.
Используя значения - коэффициентов, можно рассчитать параметров уравнения в естественной форме:
.
В конечном счёте, имеем уравнение:
.
По значениям коэффициентов регрессии можно судить о том, на какую абсолютную величину изменяется результат при изменении каждого фактора на единицу (от своей средней).
С увеличением второго фактора на 1 единицу результат увеличивается на 539,967 руб., с увеличением третьего фактора на 1 единицу увеличивается на 1404,497 руб.
Но так как признаки-факторы измеряются в разных единицах, сравнивать значения их коэффициентов регрессии не следует. Точную оценку силы связи факторов с результатом дают коэффициенты эластичности и β - коэффициенты.
Для сравнительной оценки силы связи выполним расчёт средних коэффициентов эластичности. С их помощью можно определить, на сколько процентов изменяется результат при изменении фактора на 1% (от своего среднего значения).
В нашем случае, расчёт показал, что влияние второго фактора на среднемесячную заработную плату оказалось более сильным по сравнению с влиянием третьего фактора.
С ростом второго фактора на 1% среднемесячная заработная плата увеличивается на 0,759%, а при увеличении третьего фактора на 1% среднемесячная заработная увеличивается на 0,363%.
Различия в силе влияния весьма значительны: второй фактор влияет на результат в два с лишним раз сильнее, чем третий.
Поэтому регулирование величины среднемесячной заработной платы через третий фактор будет более результативным, чем через второй.
; .
Тесноту выявленной зависимости среднемесячной заработной платы от стажа работы и уровня квалификации оценивают множественный коэффициент корреляции и детерминации.
Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и β – коэффициентов:
В нашем случае 2-х факторной зависимости расчёт строится следующим образом:
Как показали расчёты, установлена средняя зависимость среднемесячной заработной платы от второго и третьего фактора.
Это означает, что 37,2% вариации среднемесячной заработной платы определены вариацией данных факторов.
Оставшиеся 62,8% вариации результата сформировались под влиянием прочих причин.
Оценка статистической значимости или надёжности установленной формы зависимости, её параметров, оценок её силы и тесноты является важным этапом анализа результатов.
Для выполнения оценки формулируется нулевая гипотеза, которая рассматривает предположение о случайной природе полученных результатов.
То есть, .
Здесь k равно числу факторов уравнения, то есть k=2.
.
В нашем случае, когда рассматривается зависимость результата от двух факторов, расчёт выглядит следующим образом:
.
d.f.1=k= 2 и d.f.2=n-k-1 = 7-2-1=4 при α=0,05 Fтабл = 5.
В силу того, что Fфактич =1,185< Fтабл. = 5, можно нельзя отклонить нулевую гипотезу, а в качестве альтернативы – согласиться с утверждением, что проверяемые параметры множественной регрессионной модели не случайны, что коэффициенты уравнения и показатели тесноты связи не являются случайными величинами.
Второй фактор менее значим, поэтому исключим его из рассмотрения.
Рассмотрим парную модель зависимости от X3.
Глава 2.2. Парная регрессия
Обычно моделирование начинается в построения уравнения прямой:, отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.
Расчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а0 и а1.
Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа0 и Δа1.
Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X.
Таблица 3.
№
1
7
20834
49
145838
20778,179
431441859,246
0,361
2
6
23254
36
139524
19013,214
361274194,903
27,389
3
5
15277
25
76385
17248,250
297329670,563
12,731
4
4
8544
16
34176
15483,286
239608286,224
44,818
5
3
11906
9
35718
13718,321
188110041,889
11,705
6
2
22742
4
45484
11953,357
142834937,556
69,679
7
1
5826
1
5826
10188,393
103782973,226
28,175
Итого
28
108383
140
482951
108383,000
1764381963,607
194,859
Средняя
4
15483,286
27,837
Сигма
2
6502,301
—
—
—
—
—
Δ=
196
—
—
—
—
—
—
Δа0=
1650992
8423,429
—
—
—
—
Δа1=
345933
1764,964
—
—
—
—
Расчёт определителя системы выполним по формуле:
7*140 –28*28 = 196;
Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:
=108383*140 – 482951*28 = 1650992.
Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:
7*482951 – 28*108383 = 345933.
Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:
;
.
В конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:
.
В уравнении коэффициент регрессии а1 = 1764,964 означает, что при увеличении уровня квалификации на 1 единицу (от своей средней) среднемесячная заработная плата возрастёт на 1764,964 руб. (от своей средней).
Свободный член уравнения а0 = 8423,429 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на среднемесячную заработную плату.
Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности:
В нашем случае, когда рассматривается линейная зависимость, расчётная формула преобразуется к виду:
Это означает, что при изменении уровня квалификации на один уровень на 1% от своей среднемесячная заработная плата увеличивается на 0,456 процента от своей средней.
Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:
,
Коэффициент корреляции, равный 0,543, показывает, что выявлена тесная зависимость между среднемесячной заработной платой и уровнем квалификации.
Коэффициент детерминации, равный 0,295, устанавливает, что вариация среднемесячной заработной платы на 29,5% из 100% предопределена вариацией уровня квалификации работника; роль прочих факторов, влияющих на среднемесячную заработную плату, определяется в 70,5%.
В нашем случае, ;
где - число факторов в уравнении; - число изучаемых объектов.
Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.1=k=1 и d.f.2=n-k-1=7-1-1=5 и уровне значимости α=0,05.
В силу того, что , нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости среднемесячной заработной платы от уровня квалификации работника и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.
Построим график, с помощью которого проанализируем, насколько хорошо полученное уравнение описывает рассматриваемую зависимость.
Таблица 4.
x
Yтеор
Yрег
7
20834
20778,179
6
23254
19013,214
5
15277
17248,250
4
8544
15483,286
3
11906
13718,321
2
22742
11953,357
1
5826
10188,393
Рисунок 2.
Оценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:
.
В нашем случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 27,837%.
Она указывает на высокое качество построенной линейной модели и не ограничивает её использование для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения ).
Рассмотрим теперь приближение ряда с помощью логарифмической функции регрессии.
Для преобразования нелинейной функции в линейную введём новую переменную , которая линейно связана с результатом.
Следовательно, для определения параметров модели будут использованы традиционные расчётные приёмы, основанные на значениях определителей второго порядка.
Таблица 5.
№
1
7
1,946
20834
4
40541
19489,652
379770690,880
8,683
2
6
1,792
23254
3
41666
18641,357
347433398,331
29,791
3
5
1,609
15277
3
24587
17638,037
311043585,970
15,249
4
4
1,386
8544
2
11844
16410,073
269244996,858
50,804
5
3